5.4. Exercício 4: Avaliação da Precisão (Variância Implícita)

Aplicação: Validação analítica e comparação de métodos. O IC, embora estime a média, sua amplitude é diretamente influenciada pelo desvio padrão (s), permitindo inferências sobre a precisão do método.

Dados:

Duas metodologias (Método A e Método B) foram testadas para medir o teor de gordura em queijo.
Ambas usaram \mathrm{n}=10 amostras e \gamma=95 \%.
  • Método A (Novo) :(\bar{x})=10.1 \% \cdot \mathrm{~s}=0.2 \%.
  • Método B (Padrão): (\bar{x})=10,0 \% \cdot \mathrm{~s}=0.4 \%.
Objetivo: Calcular e comparar os ICs de ambos os métodos. Interpretar qual método oferece maior precisão (IC mais estreito).

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule e compare os intervalos de confiança (IC) de nível 95\% para a média do teor de gordura medido por dois métodos (A e B) usando amostras de tamanho n=10. Em seguida, devemos interpretar qual método é mais preciso com base no IC mais estreito.
Informações dadas:
\begin{aligned} &\text{Método A (Novo): } \bar{x}_A = 10,1\%,\quad s_A = 0,2\%,\quad n_A = 10.\\\ &\text{Método B (Padrão): } \bar{x}_B = 10,0\%,\quad s_B = 0,4\%,\quad n_B = 10.\\\ &\text{Nível de confiança: } \gamma = 95\%. \end{aligned}ééãíç

Passo 2

Qual fórmula usar e por que usar? Aqui queremos um IC para a média amostral quando a variância populacional é desconhecida e n é pequeno ( n=10). Nesses casos usa-se o IC baseado na distribuição t de Student. A fórmula do IC para a média é:
\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\,\nu}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (o que estamos estimando);
  • t_{\alpha/2,\,\nu} é o quantil crítico da distribuição t com \nu graus de liberdade, para \alpha = 1-\gamma;
  • s é o desvio padrão amostral;
  • n é o tamanho da amostra;
  • \nu = n-1 são os graus de liberdade;
  • \frac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (SE), que mede a variabilidade da média amostral.
Para \gamma=95\% temos \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025. Com n=10 temos \nu=9. O valor crítico da t é
t_{0,025,\,9}\approx 2,262.

Passo 3

Calcular o erro padrão (SE) para o Método A. A fórmula do SE é
\text{SE}_A=\frac{s_A}{\sqrt{n}}.
Substituindo s_A=0,2\% e n=10:
\sqrt{10}\approx 3,1623,
\text{SE}_A=\frac{0,2\%}{3,1623}\approx 0,063245\%.
(Estou mantendo casas decimais suficientes para não acumular erro.)

Passo 4

Calcular a margem de erro para o Método A usando o t crítico:
\text{ME}_A = t_{0,025,9}\cdot\text{SE}_A \approx 2,262\cdot 0,063245\%\approx 0,1432\%.
Agora o IC para a média do Método A é
\bar{x}_A \pm \text{ME}_A = 10,1\% \pm 0,1432\%.
Calculando os limites:
\text{limite inferior}_A = 10,1\% - 0,1432\% = 9,9568\% \approx 9,96\%,
\text{limite superior}_A = 10,1\% + 0,1432\% = 10,2432\% \approx 10,24\%.

Passo 5

Repetir para o Método B: primeiro o erro padrão.
\text{SE}_B=\frac{s_B}{\sqrt{n}}=\frac{0,4\%}{3,1623}\approx 0,12649\%.

Passo 6

Margem de erro para o Método B:
\text{ME}_B = t_{0,025,9}\cdot\text{SE}_B \approx 2,262\cdot 0,12649\%\approx 0,2864\%.
IC para a média do Método B:
\bar{x}_B \pm \text{ME}_B = 10,0\% \pm 0,2864\%.
Limites:
\text{limite inferior}_B = 10,0\% - 0,2864\% = 9,7136\% \approx 9,71\%,
\text{limite superior}_B = 10,0\% + 0,2864\% = 10,2864\% \approx 10,29\%.

Passo 7

Comparação e interpretação. O comprimento do IC é 2\cdot\text{ME}. Para o Método A o comprimento é aproximadamente 2\cdot 0,1432\%=0,2864\%. Para o Método B o comprimento é aproximadamente 2\cdot 0,2864\%=0,5728\%. Então o IC do Método A é cerca de metade da largura do IC do Método B.
Conclusão prática (didática e motivacional): o Método A tem desvio padrão amostral menor ( s_A=0,2\% contra s_B=0,4\%), logo produz médias mais “concentradas” e ICs mais estreitos — isto é, maior precisão. Apesar das médias serem muito próximas ( 10,1\% vs 10,0\%), a diferença na precisão é expressa pelos ICs: o Método A dá um intervalo mais estreito, logo é mais preciso.

Resposta

Método A: [9,96\%;\;10,24\%].
Método B: [9,71\%;\;10,29\%].
Método mais preciso: Método A (IC mais estreito).

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