5.3. Exercício 3: IC para a Vida Útil Estimada de um Produto (Estabilidade)

Aplicação: Pesquisa e Desenvolvimento. Estimativa da estabilidade (shelf-life). O IC define a faixa real de tempo que o produto pode durar mantendo a qualidade.
Dados:
  • \mathrm{n}=12 pacotes de biscoito foram testados até o ponto de ranço sensorial.
  • Média Amostral (\bar{x})=185 dias.
  • Desvio Padrão Amostral (\mathrm{s})=15 dias.
  • Nível de Confiança (\gamma)=90 \%.
Objetivo: Calcular o IC para a vida útil média. Com base no resultado, qual prazo de validade (em dias inteiros) deve ser recomendado para garantir a qualidade mínima com 90 \% de confiança?

Passo 1

O enunciado pede para calcular o intervalo de confiança (IC) para a vida útil média do produto com nível de confiança de 90\% e, a partir desse resultado, indicar um prazo de validade em dias inteiros que garanta a qualidade mínima com 90\% de confiança.
Dados fornecidos:
n=12,\quad \bar{x}=185,\quad s=15,\quad \gamma=90\%.

Passo 2

Qual método vamos usar? Temos amostra pequena ( n=12) e não sabemos o desvio padrão da população ( \sigma é desconhecido). Nessas situações usamos o IC para a média baseado na distribuição t de Student, cujo formato é semelhante ao normal mas com caudas mais pesadas — isso corrige a incerteza extra por estimarmos \sigma pela amostra. A fórmula geral é:
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (a estimativa do parâmetro),
  • s é o desvio padrão amostral,
  • n é o tamanho da amostra,
  • t_{1-\alpha/2,\,n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade,
  • \alpha = 1-\gamma é o nível de significância. Aqui \gamma=0{,}90\Rightarrow \alpha=0{,}10.

Passo 3

Calcular \alpha e os graus de liberdade:
\alpha=1-0{,}90=0{,}10,\qquad \alpha/2=0{,}05,\qquad \text{gl}=n-1=11.

Passo 4

Calcular o erro padrão da média (standard error), que é s/\sqrt{n}. Esse valor mede a variabilidade esperada da média amostral em torno da média populacional.
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{15}{\sqrt{12}}.
Agora calculemos \sqrt{12}. \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}\approx 3{,}4641016. Assim
\frac{15}{\sqrt{12}}\approx\frac{15}{3{,}4641016}\approx 4{,}330127.
Vou chamar esse valor de erro padrão: SE\approx 4{,}330127.

Passo 5

Precisamos do valor crítico t_{1-\alpha/2,\,11}=t_{0{,}95,\,11}. Esse valor é obtido numa tabela da distribuição t (ou calculadora estatística). O valor tabelado é aproximadamente
t_{0{,}95,\,11}\approx 1{,}7959.
(ou seja, para 90\% de confiança e 11 graus de liberdade, o quantil de duas caudas corresponde a t\approx 1{,}7959.)

Passo 6

Calcular a margem de erro (ME):
\text{ME}=t_{0{,}95,\,11}\cdot SE\approx 1{,}7959\cdot 4{,}330127\approx 7{,}777.
Vou manter algumas casas decimais durante as contas para precisão: \text{ME}\approx 7{,}777.

Passo 7

Agora construímos o intervalo de confiança aplicando \bar{x}\pm \text{ME}:
\text{limite inferior}=\bar{x}-\text{ME}=185-7{,}777\approx 177{,}223,
\text{limite superior}=\bar{x}+\text{ME}=185+7{,}777\approx 192{,}777.
Portanto o IC de 90\% para a vida útil média é aproximadamente (177{,}22\,,\,192{,}78) dias.

Passo 8

Qual prazo de validade inteiro devemos recomendar para garantir a qualidade mínima com 90\% de confiança? Interpretação prática: para “garantir” (ser conservador) escolhemos um prazo que não exceda a estimativa mais baixa do intervalo de confiança — ou seja, o limite inferior. Como o enunciado pede um número inteiro de dias, devemos arredondar esse limite inferior de forma conservadora para um número inteiro que assegure a qualidade. O limite inferior é \approx 177{,}223 dias. Para garantir (não extrapolar a confiança), escolhemos um inteiro menor ou igual a esse valor. Assim o prazo recomendado é 177 dias.

Resposta

Intervalo de confiança de 90\% para a vida útil média: (177{,}223\,,\,192{,}777) dias.
Prazo de validade recomendado (inteiro, conservador, com 90\% de confiança): 177 dias.

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