Nos Exercícios de 1 a 28 , ache
por derivação implícita.
-
-
Passo 1
Enunciados e o que é pedido:
- Exercício 27:
. Pede-se achar . - Exercício 28:
. Pede-se achar .
Informações dadas relevantes:
- Em ambas as equações
é função implícita de ; portanto ao derivar termos contendo devemos aplicar a regra da cadeia e multiplicar por . - Os termos que combinam
e exigirão regra do produto quando diferenciados (por exemplo, ).
Passo 2
Resolução do Exercício 27 — estratégia e simplificação inicial.
- Observação inteligente: a diferença de quadrados pode ser simplificada antes de derivar. Usar
com e . - Calcule:
- Portanto a esquerda simplifica para
- A equação fica então
Passo 3
Derivação implícita do Exercício 27 — diferenciar ambos os lados.
- Vamos derivar cada lado em relação a
. Lembrando: - Regra do produto:
. - Derivada de
é . - Derivada de
é (regra da cadeia).
- Regra do produto:
- Derivando o lado esquerdo
(constante 4 vezes produto ):
- Derivando o lado direito
:
Passo 4
Isolar
no Exercício 27.
- Igualando as derivadas:
- Reunir os termos com
no mesmo lado e os termos sem no outro:
- Fatorando
:
- Finalmente,
Esse é o resultado final para o exercício 27.
Passo 5
Resolução do Exercício 28 — estratégia e preparação.
- A equação é
. - Podemos derivar diretamente cada termo; haverá:
- Derivada de
em relação a : (pois é constante). - Derivada de
é . - Derivada de
exige regra do produto: vezes . - Derivada de
usa regra da cadeia: se então .
- Derivada de
- Derivaremos ambos os lados em relação a
e depois isolaremos .
Passo 6
Derivação implícita do Exercício 28 — calcular as derivadas termo a termo.
- Derivada do lado esquerdo:
-
. -
. - Para
use regra do produto:
-
- Derivada do lado direito
. - Juntando tudo:
Passo 7
Isolar
no Exercício 28 — organizar e resolver.
- Mover o
para o lado esquerdo e agrupar constantes:
- Simplificar
:
- Isolar
:
- Dividindo ambos os lados pelo coeficiente de
:
Passo 8
Simplificação final do resultado do Exercício 28 (deixar mais “limpo”).
- Colocar o denominador sobre um único quociente:
- Multiplicando numerador e denominador por
obtemos:
- Podemos desenvolver o numerador para uma forma alternativa e compacta. Observando que
uma forma elegante é
- Ambas as formas são equivalentes; escolhi a última por ser mais compacta.