Exercício 3) Determinar o módulo de elasticidade volumétrica na seguinte situação:
\begin{aligned} & \text { Pressão } 1=35 \mathrm{Kgf} \mathrm{~cm}^{-2} \quad \text { Volume }=0,0300 \mathrm{~m}^{3} \\\ & \text { Pressão } 2=225 \mathrm{Kgf} \mathrm{~cm}^{-2} \quad \text { Volume }=0,0297 \mathrm{~m}^{3} \end{aligned}ãã

Passo 1

O enunciado dá duas situações de pressão e volume de um fluido ou material:
- Pressão 1: p_{1}=35\,\mathrm{kgf/cm^{2}} com volume V_{1}=0,0300\,\mathrm{m^{3}}
- Pressão 2: p_{2}=225\,\mathrm{kgf/cm^{2}} com volume V_{2}=0,0297\,\mathrm{m^{3}}
O que se pede é o módulo de elasticidade volumétrica K, que mede a resistência à compressão volumétrica. Para isso vamos usar a definição de deformação volumétrica e de módulo de elasticidade volumétrica.

Passo 2

A deformação volumétrica é dada por
\varepsilon_{v}=\frac{\Delta V}{V_{1}}=\frac{V_{2}-V_{1}}{V_{1}},
e o módulo de elasticidade volumétrica é definido (em valor absoluto) por
K \;=\; -\,\frac{\Delta p}{\varepsilon_{v}} \quad\text{onde}\quad \Delta p = p_{2}-p_{1}.
O sinal menos garante que K seja positivo quando o volume diminui ao aumentar a pressão.

Passo 3

Vamos calcular \Delta p, \Delta V e \varepsilon_{v}:
\Delta p = p_{2}-p_{1} = 225 - 35 = 190\,\mathrm{kgf/cm^{2}},
\Delta V = V_{2}-V_{1} = 0,0297 - 0,0300 = -0,0003\,\mathrm{m^{3}},
\varepsilon_{v} = \frac{\Delta V}{V_{1}} = \frac{-0,0003}{0,0300} = -0,01.

Passo 4

Substituindo esses valores em
K = -\,\frac{\Delta p}{\varepsilon_{v}}
temos
K = -\,\frac{190\,\mathrm{kgf/cm^{2}}}{-0,01} = 19000\,\mathrm{kgf/cm^{2}}.

Passo 5

Se quisermos converter para o SI, usamos
1\,\mathrm{kgf/cm^{2}} = 9{,}80665\times10^{4}\,\mathrm{Pa},
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K = 19000 \times 9{,}80665\times10^{4}\,\mathrm{Pa} \approx 1{,}863\times10^{9}\,\mathrm{Pa} =1{,}86\;\mathrm{GPa}.

Resposta

O módulo de elasticidade volumétrica é
K = 19000\,\mathrm{kgf/cm^{2}} \quad\bigl(\approx1{,}86\times10^{9}\,\mathrm{Pa}\bigr).

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