Exercício 1) Calcule as diferenciais de cada uma das funções dadas abaixo:
z=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}\

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle z=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}} e pede para calcular as diferenciais (ou seja, o diferencial total) dessa função.
Informações relevantes que temos:
  • A função depende de duas variáveis: x e y.
  • A expressão envolve \ln e uma raiz quadrada; portanto a função está definida quando x^{2}+y^{2}>0 (no ponto (0,0) não está definida).
    O que se pede explicitamente: encontrar o diferencial dz em função de dx e dy.

Passo 2

Lembrete prático do que é o diferencial total: se z=f(x,y), então o diferencial total dz é dado por
dz=\frac{\partial z}{\partial x}\,dx+\frac{\partial z}{\partial y}\,dy.
Explicando de leve: \dfrac{\partial z}{\partial x} é a taxa de variação de z quando só mudamos x (mantendo y fixo); \dfrac{\partial z}{\partial y} é análogo para y. Os símbolos dx e dy representam pequenos incrementos em x e y. O plano é calcular essas derivadas parciais e montar dz.

Passo 3

Para facilitar as derivadas, vamos reescrever a função usando uma identidade dos logaritmos:
\ln\sqrt{u}=\tfrac{1}{2}\ln u.
Aplicando com u=x^{2}+y^{2} obtemos
z=\tfrac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
Esta forma é mais direta para aplicar a regra da cadeia na derivação.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} passo a passo, usando a regra da cadeia. Seja u(x,y)=x^{2}+y^{2}. Então z=\tfrac{1}{2}\ln u. Pela regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial x}=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Agora \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=2x (porque y^{2} é tratado como constante ao derivar em relação a x). Substituindo:
\frac{\partial z}{\partial x}=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2x=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 5

Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} de forma análoga. Usando a mesma u:
\frac{\partial z}{\partial y}=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Temos \displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=2y. Logo
\frac{\partial z}{\partial y}=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2y=\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 6

Agora montamos o diferencial total usando a fórmula do Passo 2:
dz=\frac{\partial z}{\partial x}\,dx+\frac{\partial z}{\partial y}\,dy =\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dx+\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dy.
Podemos também escrever de forma factorizada:
dz=\frac{x\,dx+y\,dy}{x^{2}+y^{2}}.
Ambas as formas são equivalentes e úteis dependendo do contexto.

Passo 7

Observações finais e dica para prova:
  • Lembre-se de que a função não está definida em (0,0), portanto a fórmula do diferencial só vale para (x,y) com x^{2}+y^{2}>0.
  • Estratégia geral usada aqui (útil em muitos exercícios): simplificar expressões com log/raízes antes de derivar e aplicar a regra da cadeia identificando uma função interior u(x,y) e derivando passo a passo. Isso poupa erros e torna as contas mais limpas. Força aí — com prática esses passos ficam naturais!

Resposta

dz=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dx+\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dy

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