Exercício 1) Calcule as diferenciais de cada uma das funções dadas abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular as diferenciais (ou seja, o diferencial total) dessa função.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A função depende de duas variáveis:
e . - A expressão envolve
e uma raiz quadrada; portanto a função está definida quando (no ponto não está definida).
O que se pede explicitamente: encontrar o diferencialem função de e .
Passo 2
Lembrete prático do que é o diferencial total: se
, então o diferencial total
é dado por
Explicando de leve:
é a taxa de variação de
quando só mudamos
(mantendo
fixo);
é análogo para
. Os símbolos
e
representam pequenos incrementos em
e
. O plano é calcular essas derivadas parciais e montar
.
Passo 3
Para facilitar as derivadas, vamos reescrever a função usando uma identidade dos logaritmos:
Aplicando com
obtemos
Esta forma é mais direta para aplicar a regra da cadeia na derivação.
Passo 4
Calcular
passo a passo, usando a regra da cadeia. Seja
. Então
. Pela regra da cadeia:
Agora
(porque
é tratado como constante ao derivar em relação a
). Substituindo:
Passo 5
Calcular
de forma análoga. Usando a mesma
:
Temos
. Logo
Passo 6
Agora montamos o diferencial total usando a fórmula do Passo 2:
Podemos também escrever de forma factorizada:
Ambas as formas são equivalentes e úteis dependendo do contexto.
Passo 7
Observações finais e dica para prova:
- Lembre-se de que a função não está definida em
, portanto a fórmula do diferencial só vale para com . - Estratégia geral usada aqui (útil em muitos exercícios): simplificar expressões com log/raízes antes de derivar e aplicar a regra da cadeia identificando uma função interior
e derivando passo a passo. Isso poupa erros e torna as contas mais limpas. Força aí — com prática esses passos ficam naturais!