Exercício 7.3. Determinar a solução geral e a solução singular das seguintes equações de Clairaut:
y-x y^{\prime}=3\left(y^{\prime}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação
y - x\,y' = 3\left(y'\right)^2
e pede duas coisas: a solução geral e a solução singular. As informações relevantes que temos são:
\text{função incógnita: }y(x),\qquad \text{derivada: }y'=\frac{dy}{dx}.çãó
Não há figura nem tabela; só a equação diferencial algébrica envolvendo y, x e y'.

Passo 2

Vamos reescrever a equação isolando y. Colocando todos os termos com y à esquerda obtemos a forma
y = x\,y' + 3\left(y'\right)^2.
Isto é útil porque agora vemos y expressa como uma função de x e de p:=y'. Para simplificar a escrita, definimos
p := y'.
Assim a família de curvas dada pela equação pode ser escrita como
y = x\,p + 3p^2,
onde p pode depender de x em geral. A próxima ideia é tentar soluções em que p seja uma constante (isso dá a solução geral do tipo de equação que temos) e depois procurar a solução singular como envelope dessa família.

Passo 3

Procurando a solução geral, suponho que p seja uma constante, digamos p=C (onde C é um parâmetro real). Se y' = C então integrando em x obtemos uma reta:
y = Cx + K,
onde K é constante de integração. Mas nossa equação original impõe a relação específica entre y, x e p. Substituindo p=C na expressão y = x p + 3p^2 obtemos diretamente
y = Cx + 3C^2.
Aqui K foi determinado como 3C^2 pela equação original; portanto a família de soluções retas é
y(x)=Cx+3C^2,
com C constante. Para checar a coerência: a derivada de y é y'=C, que é exatamente o p que usamos, logo a condição é satisfeita. Essa é a solução geral (família de retas parametrizada por C).

Passo 4

Agora vamos encontrar a solução singular — geometricamente, é a curva envelope da família de retas y=Cx+3C^2. O envelope é obtido eliminando o parâmetro C usando as duas equações
y = Cx + 3C^2
e
\frac{\partial}{\partial C}\bigl(Cx + 3C^2\bigr)=0.
A segunda equação garante que, para um dado x, a reta escolhida é tangente à curva envelope. Calculando a derivada parcial:
\frac{\partial}{\partial C}\bigl(Cx + 3C^2\bigr)=x + 6C.
Impondo x+6C=0 obtemos
C = -\frac{x}{6}.

Passo 5

Substituímos C=-\dfrac{x}{6} na expressão da família para obter a curva envelope (a solução singular). Substituição passo a passo:
y = Cx + 3C^2 = \left(-\frac{x}{6}\right)x + 3\left(-\frac{x}{6}\right)^2.
Calculemos cada termo:
\left(-\frac{x}{6}\right)x = -\frac{x^2}{6}, \qquad 3\left(-\frac{x}{6}\right)^2 = 3\cdot\frac{x^2}{36} = \frac{x^2}{12}.
Somando,
y = -\frac{x^2}{6} + \frac{x^2}{12} = -\frac{x^2}{12}.
Portanto a solução singular é a parábola
y = -\frac{x^2}{12}.

Passo 6

Vamos verificar que tanto a solução geral quanto a singular satisfazem a equação original.
  1. Para a solução geral y=Cx+3C^2: temos y'=C. Substituindo na equação original
y - x y' = 3(y')^2
(Cx+3C^2) - x\cdot C = 3C^2,
o que simplifica para 3C^2=3C^2, verdade — ok.
  1. Para a solução singular y=-\dfrac{x^2}{12}: calculamos y'=-\dfrac{x}{6}. Então
y - x y' = -\frac{x^2}{12} - x\left(-\frac{x}{6}\right) = -\frac{x^2}{12} + \frac{x^2}{6} = \frac{x^2}{12}.
Por outro lado
3(y')^2 = 3\left(-\frac{x}{6}\right)^2 = 3\cdot\frac{x^2}{36}=\frac{x^2}{12}.
Ambos lados coincidem, logo a curva singular também satisfaz a equação. Tudo consistente.

Resposta

Solução geral: y=Cx+3C^{2}, com C parâmetro real.
Solução singular: y=-\dfrac{x^{2}}{12}.

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