Exercício 7.3. Determinar a solução geral e a solução singular das seguintes equações de Clairaut:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede duas coisas: a solução geral e a solução singular. As informações relevantes que temos são:
Não há figura nem tabela; só a equação diferencial algébrica envolvendo
,
e
.
Passo 2
Vamos reescrever a equação isolando
. Colocando todos os termos com
à esquerda obtemos a forma
Isto é útil porque agora vemos
expressa como uma função de
e de
. Para simplificar a escrita, definimos
Assim a família de curvas dada pela equação pode ser escrita como
onde
pode depender de
em geral. A próxima ideia é tentar soluções em que
seja uma constante (isso dá a solução geral do tipo de equação que temos) e depois procurar a solução singular como envelope dessa família.
Passo 3
Procurando a solução geral, suponho que
seja uma constante, digamos
(onde
é um parâmetro real). Se
então integrando em
obtemos uma reta:
onde
é constante de integração. Mas nossa equação original impõe a relação específica entre
,
e
. Substituindo
na expressão
obtemos diretamente
Aqui
foi determinado como
pela equação original; portanto a família de soluções retas é
com
constante. Para checar a coerência: a derivada de
é
, que é exatamente o
que usamos, logo a condição é satisfeita. Essa é a solução geral (família de retas parametrizada por
).
Passo 4
Agora vamos encontrar a solução singular — geometricamente, é a curva envelope da família de retas
. O envelope é obtido eliminando o parâmetro
usando as duas equações
e
A segunda equação garante que, para um dado
, a reta escolhida é tangente à curva envelope. Calculando a derivada parcial:
Impondo
obtemos
Passo 5
Substituímos
na expressão da família para obter a curva envelope (a solução singular). Substituição passo a passo:
Calculemos cada termo:
Somando,
Portanto a solução singular é a parábola
Passo 6
Vamos verificar que tanto a solução geral quanto a singular satisfazem a equação original.
- Para a solução geral
: temos . Substituindo na equação original
dá
o que simplifica para
, verdade — ok.
- Para a solução singular
: calculamos . Então
Por outro lado
Ambos lados coincidem, logo a curva singular também satisfaz a equação. Tudo consistente.
Resposta
Solução geral:
, com
parâmetro real.
Solução singular: .
Solução singular: