Exercício 7.3. Determinar a solução geral e a solução singular das seguintes equações de Clairaut:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede duas coisas:
- Determinar a solução geral (família de soluções com parâmetro).
- Determinar a solução singular (se existir).
Informações relevantes que temos:
-
é função de . -
é a derivada de em relação a . - A equação relaciona
, e de forma explícita.
Passo 2
Vamos introduzir uma notação prática que facilita os cálculos. Defina
Isso significa que
é a função
, mas na manipulação abaixo às vezes trataremos
como uma quantidade que pode depender de
.
Reescrevendo a equação com
obtemos
Esta é uma expressão que relaciona
,
e
. Para extrair informações sobre
(e portanto sobre
), vamos derivar essa identidade em relação a
. Antes de derivar, explico rapidamente as regras que vamos usar:
- Regra do produto:
, onde . - Regra da cadeia:
.
Passo 3
Agora derivamos ambos os lados da igualdade
. No lado esquerdo
. No lado direito, aplicando as regras citadas, obtemos:
Igualando as derivadas:
Subtraindo
de ambos os lados resulta
Esta igualdade nos dá duas possibilidades que precisam ser examinadas separadamente: ou
ou
.
Passo 4
Caso 1:
.
Explicação:
significa que
é constante em
. Chamemos essa constante de
, ou seja
Voltando à expressão original
e substituindo
, obtemos a família de funções
onde
é parâmetro real. Cada escolha de
dá uma reta de inclinação
e ordenada na origem
.
Verificação rápida (como se faz na prova): a derivada de
é
. Substituindo em
dá
, que é exatamente
. Portanto essas retas satisfazem a equação dada.
Passo 5
Caso 2:
.
Explicação: essa condição expressa
em função de
. Resolvendo,
Agora substituímos esse
na relação
para obter
em termos de
. Fazendo as contas passo a passo:
Calcule cada termo:
Somando,
Portanto obtemos a curva
Essa curva é a candidata a solução singular (normalmente chamada de envelope da família de retas obtida no caso 1). Vou também mostrar outro caminho (útil em provas) para ver essa curva como envelope: a família de retas é
. Para achar a envelope eliminamos
entre as equações
a segunda equação dá
e substituindo na primeira obtemos exatamente
. Isso confirma que a curva encontrada é a envelope.
Passo 6
Verificação que a curva singular é realmente solução da equação original: tome
. Então
Substituindo em
temos
logo a curva satisfaz a equação diferencial e é de fato uma solução singular. Para completar, já verificamos antes que as retas
também satisfazem a equação, então temos tanto a solução geral (família de retas) quanto a solução singular (parábola).