Exercício 7.3. Determinar a solução geral e a solução singular das seguintes equações de Clairaut:
y=x y^{\prime}+\left(y^{\prime}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação
y = x\,y' + \left(y'\right)^2
e pede duas coisas:
  1. Determinar a solução geral (família de soluções com parâmetro).
  2. Determinar a solução singular (se existir).
Informações relevantes que temos:
  • y é função de x.
  • y'=\dfrac{dy}{dx} é a derivada de y em relação a x.
  • A equação relaciona y, x e y' de forma explícita.

Passo 2

Vamos introduzir uma notação prática que facilita os cálculos. Defina
p := y'.
Isso significa que p é a função p(x)=y'(x), mas na manipulação abaixo às vezes trataremos p como uma quantidade que pode depender de x.
Reescrevendo a equação com p obtemos
y = x\,p + p^2.
Esta é uma expressão que relaciona y, x e p. Para extrair informações sobre p (e portanto sobre y), vamos derivar essa identidade em relação a x. Antes de derivar, explico rapidamente as regras que vamos usar:
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}(x\,p) = 1\cdot p + x\cdot p', onde p'=\dfrac{dp}{dx}=y''.
  • Regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}(p^2) = 2p\,p'.

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados da igualdade y = x p + p^2. No lado esquerdo \dfrac{d}{dx}y = y' = p. No lado direito, aplicando as regras citadas, obtemos:
\frac{d}{dx}(x p + p^2) = p + x p' + 2p\,p' = p + (x + 2p)p'.
Igualando as derivadas:
p = p + (x + 2p)p'.
Subtraindo p de ambos os lados resulta
(x + 2p)\,p' = 0.
Esta igualdade nos dá duas possibilidades que precisam ser examinadas separadamente: ou p' = 0 ou x + 2p = 0.

Passo 4

Caso 1: p' = 0.
Explicação: p' = 0 significa que p é constante em x. Chamemos essa constante de c, ou seja
p = c,\qquad c\\ \text{constante}.
Voltando à expressão original y = x p + p^2 e substituindo p=c, obtemos a família de funções
y = c x + c^2,
onde c é parâmetro real. Cada escolha de c dá uma reta de inclinação c e ordenada na origem c^2.
Verificação rápida (como se faz na prova): a derivada de y é y' = c. Substituindo em x y' + (y')^2 x c + c^2, que é exatamente y. Portanto essas retas satisfazem a equação dada.

Passo 5

Caso 2: x + 2p = 0.
Explicação: essa condição expressa p em função de x. Resolvendo,
p = -\frac{x}{2}.
Agora substituímos esse p na relação y = x p + p^2 para obter y em termos de x. Fazendo as contas passo a passo:
y = x\left(-\frac{x}{2}\right) + \left(-\frac{x}{2}\right)^2.
Calcule cada termo:
x\left(-\frac{x}{2}\right) = -\frac{x^2}{2}, \qquad \left(-\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{x^2}{4}.
Somando,
y = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{4} = -\frac{x^2}{4}.
Portanto obtemos a curva
y = -\frac{x^2}{4}.
Essa curva é a candidata a solução singular (normalmente chamada de envelope da família de retas obtida no caso 1). Vou também mostrar outro caminho (útil em provas) para ver essa curva como envelope: a família de retas é y = c x + c^2. Para achar a envelope eliminamos c entre as equações
y = c x + c^2 \qquad\text{e}\qquad 0 = \frac{\partial}{\partial c}(c x + c^2) = x + 2c,
a segunda equação dá c = -x/2 e substituindo na primeira obtemos exatamente y = -x^2/4. Isso confirma que a curva encontrada é a envelope.

Passo 6

Verificação que a curva singular é realmente solução da equação original: tome y_s(x) = -\dfrac{x^2}{4}. Então
y_s'(x) = -\frac{x}{2}.
Substituindo em x y' + (y')^2 temos
x\left(-\frac{x}{2}\right) + \left(-\frac{x}{2}\right)^2 = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{4} = -\frac{x^2}{4} = y_s(x),
logo a curva satisfaz a equação diferencial e é de fato uma solução singular. Para completar, já verificamos antes que as retas y = c x + c^2 também satisfazem a equação, então temos tanto a solução geral (família de retas) quanto a solução singular (parábola).

Resposta

y = c x + c^2,\; c\in\mathbb{R}
y = -\dfrac{x^2}{4}

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