Exercício 7.3. Determinar a solução geral e a solução singular das seguintes equações de Clairaut:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral e a solução singular da equação dada. A equação fornecida é
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A incógnita é a função
e . - A equação relaciona
, e de forma implícita. - Devemos encontrar (1) a família de soluções gerais dependente de uma constante e (2) a solução singular (envelope dessa família), se existir.
Passo 2
Primeiro passo de manipulação: vou introduzir uma notação curta para a derivada, que facilita ver a estrutura da equação. Seja
Reescrevo a equação em termos de
:
Agora isolo
(sempre tomando cuidado se dividimos por algo que possa ser zero). Multiplico e reorganizo:
e, dividindo por
(aqui assumimos
; verificaremos
depois),
Isso é importante: obtivemos uma expressão da forma
com
. Note que a divisão por
exige
; veremos que
não satisfaz a equação original.
Passo 3
Explicando a ideia (aula curta sobre o método usado): quando conseguimos escrever a solução na forma
temos uma equação do tipo clássico cuja solução geral é a família de retas obtida escolhendo
constante, e existe possivelmente uma solução singular que é o envelope dessa família. Mais precisamente:
- A solução geral (família completa) obtém-se tomando
constante, isto é
onde
é parâmetro constante.
- A solução singular (envelope) obtém-se eliminando
entre
e a condição de envelope
que dá
Vou aplicar isso ao caso em mãos com
.
Passo 4
Calculo
. Como
,
A condição de envelope
fica
ou seja
Vou usar isso mais adiante para obter a solução singular.
Passo 5
Antes, escrevo a solução geral (família de retas) substituindo
constante em
:
com
constante. Lembrete importante: precisamos checar se
é permitido. Substituindo
na equação original temos
ou seja
não satisfaz a equação original. Portanto
. Conclusão: a família geral é
Interpretação prática para a prova: memorize que a solução geral de uma Clairaut (forma
) é a família de retas
.
Passo 6
Agora obtenho a solução singular substituindo
em função de
. Da condição de envelope temos
onde tomo a raiz cúbica real (isso exige
). Substituo esse
na expressão de
:
Calculo cada termo separadamente, usando
.
Passo 7
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Somando os dois termos:
Simplifico o coeficiente combinando termos com denominador
. Observando que
, obtemos
Logo a solução singular é
definida para
. (Para
usa-se a raiz cúbica real; a expressão
é real e não ambígua.)
Passo 8
Verificação rápida (útil em prova para ganhar confiança): tomo
com
. Então
Calculo os termos da equação original e confirmo que
se anula (os cálculos dão exatamente zero), confirmando que a curva singular realmente satisfaz a equação diferencial.