Exercício 7.3. Determinar a solução geral e a solução singular das seguintes equações de Clairaut:
x\left(y^{\prime}\right)^{3}-y\left(y^{\prime}\right)^{2}+1=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral e a solução singular da equação dada. A equação fornecida é
x\left(y^{\prime}\right)^{3}-y\left(y^{\prime}\right)^{2}+1=0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A incógnita é a função y(x) e y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx}.
  • A equação relaciona x, y e y^{\prime} de forma implícita.
  • Devemos encontrar (1) a família de soluções gerais dependente de uma constante e (2) a solução singular (envelope dessa família), se existir.

Passo 2

Primeiro passo de manipulação: vou introduzir uma notação curta para a derivada, que facilita ver a estrutura da equação. Seja
p:=y^{\prime}.
Reescrevo a equação em termos de p:
x p^{3}-y p^{2}+1=0.
Agora isolo y (sempre tomando cuidado se dividimos por algo que possa ser zero). Multiplico e reorganizo:
- y p^{2} = -x p^{3}-1
e, dividindo por p^{2} (aqui assumimos p\neq 0; verificaremos p=0 depois),
y = x p + \frac{1}{p^{2}}.
Isso é importante: obtivemos uma expressão da forma
y = x p + f(p),
com f(p)=\dfrac{1}{p^{2}}. Note que a divisão por p^{2} exige p\neq 0; veremos que p=0 não satisfaz a equação original.

Passo 3

Explicando a ideia (aula curta sobre o método usado): quando conseguimos escrever a solução na forma
y = x p + f(p)\quad\text{com }p=y^{\prime},
temos uma equação do tipo clássico cuja solução geral é a família de retas obtida escolhendo p constante, e existe possivelmente uma solução singular que é o envelope dessa família. Mais precisamente:
  • A solução geral (família completa) obtém-se tomando p=c constante, isto é
y = c x + f\text{(c)},
onde c é parâmetro constante.
  • A solução singular (envelope) obtém-se eliminando c entre
y = c x + f\text{(c)}
e a condição de envelope
\frac{\partial}{\partial c}\bigl(c x + f\text{(c)}\bigr)=0,
que dá
x + f^{\prime}\text{(c)}=0.
Vou aplicar isso ao caso em mãos com f(p)=\dfrac{1}{p^{2}}.

Passo 4

Calculo f'(p). Como f(p)=p^{-2},
f'(p) = -2 p^{-3} = -\frac{2}{p^{3}}.
A condição de envelope x + f'\text{(c)}=0 fica
x - \frac{2}{c^{3}} = 0,
ou seja
x = \frac{2}{c^{3}}.
Vou usar isso mais adiante para obter a solução singular.

Passo 5

Antes, escrevo a solução geral (família de retas) substituindo p=c constante em y = x p + 1/p^{2}:
y = c x + \frac{1}{c^{2}},
com c constante. Lembrete importante: precisamos checar se c=0 é permitido. Substituindo p=0 na equação original temos
x\cdot 0 - y\cdot 0 + 1 = 1 \neq 0,
ou seja p=0 não satisfaz a equação original. Portanto c\neq 0. Conclusão: a família geral é
y = c x + \frac{1}{c^{2}},\qquad c\neq 0.
Interpretação prática para a prova: memorize que a solução geral de uma Clairaut (forma y=xp+f(p)) é a família de retas y=cx+f\text{(c)}.

Passo 6

Agora obtenho a solução singular substituindo c em função de x. Da condição de envelope temos
x = \frac{2}{c^{3}}\quad\Longrightarrow\quad c^{3}=\frac{2}{x}\quad\Longrightarrow\quad c=\left(\frac{2}{x}\right)^{1/3},
onde tomo a raiz cúbica real (isso exige x\neq 0). Substituo esse c na expressão de y:
y = c x + \frac{1}{c^{2}}.
Calculo cada termo separadamente, usando c=\left(\dfrac{2}{x}\right)^{1/3}.

Passo 7

Cálculo de x c:
x c = x\left(\frac{2}{x}\right)^{1/3} = 2^{1/3} x^{1 - 1/3} = 2^{1/3} x^{2/3}.
Cálculo de 1/c^{2}:
\frac{1}{c^{2}} = \left(\frac{2}{x}\right)^{-2/3} = 2^{-2/3} x^{2/3}.
Somando os dois termos:
y = 2^{1/3} x^{2/3} + 2^{-2/3} x^{2/3} = \bigl(2^{1/3}+2^{-2/3}\bigr)x^{2/3}.
Simplifico o coeficiente combinando termos com denominador 2^{2/3}. Observando que 2^{1/3}=2\cdot 2^{-2/3}, obtemos
2^{1/3}+2^{-2/3} = \frac{2+1}{2^{2/3}} = \frac{3}{2^{2/3}}.
Logo a solução singular é
y = \frac{3}{2^{2/3}}\, x^{2/3},
definida para x\neq 0. (Para x<0 usa-se a raiz cúbica real; a expressão x^{2/3}=(x^{1/3})^{2} é real e não ambígua.)

Passo 8

Verificação rápida (útil em prova para ganhar confiança): tomo y = K x^{2/3} com K=\dfrac{3}{2^{2/3}}. Então
y' = \frac{2}{3} K x^{-1/3}.
Calculo os termos da equação original e confirmo que x(y')^{3}-y(y')^{2}+1=0 se anula (os cálculos dão exatamente zero), confirmando que a curva singular realmente satisfaz a equação diferencial.

Resposta

y = c x + \dfrac{1}{c^{2}},\; c\neq 0.\n y = \dfrac{3}{2^{2/3}}\, x^{2/3},\; x\neq 0.

Exercícios relacionados