Exercício 6: Para o estado de tensão caracterizado pelas seguintes componentes: \sigma x=10 \mathrm{kN} / \mathrm{cm} 2, \sigma y=0,0 \mathrm{kN} / \mathrm{cm} 2 e \tau x y=4 \mathrm{kN} / \mathrm{cm} 2, determinar as tensões e direções principais, verificando-se o resultado pelo círculo de Mohr. . (Resp: \sigma 1= 11,4 \mathrm{kN} / \mathrm{cm}^{2}, \sigma 2=-1,4, \theta p 1=19,3^{\circ} ).

Passo 1

O enunciado dá um estado plano de tensão com \sigma_x=10\\ \mathrm{kN/cm^2}, \sigma_y=0\\ \mathrm{kN/cm^2} e \tau_{xy}=4\\ \mathrm{kN/cm^2},
e pede as tensões principais \sigma_1,\sigma_2 e a direção do maior valor principal \theta_{p1}.
Para isso vamos usar as fórmulas clássicas de tensões principais em 2D e depois checar pelo círculo de Mohr.

Passo 2

As tensões principais são dadas por
\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\Bigr)^2 + \tau_{xy}^2}\,.
Calculemos o valor médio
\sigma_m = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} = \frac{10 + 0}{2} = 5\\ \mathrm{kN/cm^2}
e o raio
R = \sqrt{\Bigl(\frac{10-0}{2}\Bigr)^2 + 4^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \approx 6{,}403\\ \mathrm{kN/cm^2}\,.
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\sigma_1 = \sigma_m + R = 5 + 6{,}403 \approx 11{,}403\\ \mathrm{kN/cm^2}, \quad \sigma_2 = \sigma_m - R = 5 - 6{,}403 \approx -1{,}403\\ \mathrm{kN/cm^2}.

Passo 3

A orientação do plano de \sigma_1 (ângulo em relação ao eixo x) satisfaz
\tan(2\theta_{p1}) = \frac{2\,\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y} = \frac{2\cdot4}{10-0} = \frac{8}{10} = 0{,}8.
Assim
2\theta_{p1} = \arctan(0{,}8) \approx 38{,}66^\circ \quad\Longrightarrow\quad \theta_{p1} \approx 19{,}33^\circ.

Passo 4

Pelo círculo de Mohr temos:
– centro em (\sigma_m,0)=(5,0),
– raio R=\sqrt{41}\approx6{,}403.
Os pontos em que o círculo corta o eixo \sigma são exatamente (\sigma_1,0) e (\sigma_2,0), confirmando \sigma_1\approx11{,}4 e \sigma_2\approx-1{,}4.
A linha que liga (\sigma_x,\tau_{xy}) a (\sigma_y,-\tau_{xy}) no círculo forma ângulo 2\theta_{p1}, de onde saímos com \theta_{p1}\approx19{,}3^\circ.

Resposta

\sigma_1 = 11{,}4\\ \mathrm{kN/cm^2},\quad \sigma_2 = -1{,}4\\ \mathrm{kN/cm^2},\quad \theta_{p1} = 19{,}3^\circ.

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