Exercício 3 - Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.
(x-1)^{3}(x+2)<(x-1)^{2}(x+2)^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá (resumo claro):
  • Pede: determinar todos os intervalos de números reais que satisfaçam a desigualdade e fazer a representação gráfica.
  • A desigualdade dada é (x-1)^{3}(x+2) < (x-1)^{2}(x+2)^{2}.
    Não há outras informações externas. A tarefa é analisar essa desigualdade e apresentar os intervalos de x que a satisfazem, e depois desenhar a solução numa reta numérica.

Passo 2

Colocar tudo num só lado e fatorar para simplificar:
(x-1)^{3}(x+2) < (x-1)^{2}(x+2)^{2}
subtraindo o segundo membro dos dois lados,
(x-1)^{3}(x+2) - (x-1)^{2}(x+2)^{2} < 0.
Agora vamos fatorar o lado esquerdo. Note que (x-1)^{2}(x+2) é fator comum aos dois termos, então
(x-1)^{3}(x+2) - (x-1)^{2}(x+2)^{2} = (x-1)^{2}(x+2)\big((x-1)-(x+2)\big).
Calcule o que está entre parênteses:
(x-1)-(x+2)=x-1-x-2=-3.
Portanto a desigualdade vira
-3\,(x-1)^{2}(x+2) < 0.

Passo 3

Remover o coeficiente -3 e cuidar da mudança de sinal:
Como -3 é negativo, ao dividir os dois lados por -3 a desigualdade inverte:
(x-1)^{2}(x+2) > 0.
Isso é agora uma desigualdade do tipo “produto > 0”, que é mais fácil de analisar por sinais dos fatores.

Passo 4

Analisar os fatores separadamente (aulas rápidas sobre sinais e multiplicidade):
  • O fator (x-1)^{2} é um quadrado; portanto (x-1)^{2}\ge 0 para todo x, e (x-1)^{2}=0 exatamente em x=1. Como é quadrado (multiplicidade par), esse fator nunca troca de sinal ao passar por x=1: ele fica zero em x=1 e positivo para todo x\neq 1.
  • O fator (x+2) é linear; ele é zero em x=-2, é negativo para x<-2 e positivo para x>-2.
Para o produto (x-1)^{2}(x+2) ser estritamente positivo, precisamos que:
  1. nenhum dos fatores seja zero (pois zero multiplicado dá zero e queremos > 0), e
  2. o produto dos sinais resulte em positivo.
Dado que (x-1)^{2}>0 para todo x\neq 1, o sinal do produto é determinado por (x+2) quando x\neq 1. Assim:
  • Se x>-2 e x\neq 1, então (x+2)>0 e (x-1)^{2}>0, logo o produto >0.
  • Se x<-2, então (x+2)<0 enquanto (x-1)^{2}>0, logo o produto <0 (não satisfaz).
  • Em x=-2 o produto é 0 (não satisfaz porque é estritamente >0).
  • Em x=1 o produto é 0 (não satisfaz).
Observação didática sobre multiplicidade: um zero de multiplicidade par (aqui x=1 com multiplicidade 2) não faz o sinal do produto trocar ao atravessá-lo — o produto toca zero e volta para o mesmo sinal. Já um zero de multiplicidade ímpar (aqui x=-2 com multiplicidade 1) normalmente troca o sinal ao atravessá-lo.

Passo 5

Interpretação e como representar graficamente:
  • Na reta numérica marque os pontos críticos x=-2 e x=1 com círculos abertos (porque em ambos a expressão vale 0, e a desigualdade é estrita).
  • Para x<-2 o produto é negativo → não faz parte da solução.
  • Para -2<x<1 o produto é positivo → esta região faz parte da solução.
  • Em x=1 o produto é zero → ponto excluído.
  • Para x>1 o produto é positivo → esta região também faz parte da solução.
No desenho: desenhar uma reta, marcar -2 e 1, colocar círculos abertos nesses pontos, e pintar (sombrear) as regiões entre -2 e 1 e a região à direita de 1.

Resposta

(-2,1)\cup(1,\infty)

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