Exercício 3 - Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá (resumo claro):
- Pede: determinar todos os intervalos de números reais que satisfaçam a desigualdade e fazer a representação gráfica.
- A desigualdade dada é
.
Não há outras informações externas. A tarefa é analisar essa desigualdade e apresentar os intervalos deque a satisfazem, e depois desenhar a solução numa reta numérica.
Passo 2
Colocar tudo num só lado e fatorar para simplificar:
subtraindo o segundo membro dos dois lados,
Agora vamos fatorar o lado esquerdo. Note que
é fator comum aos dois termos, então
Calcule o que está entre parênteses:
Portanto a desigualdade vira
Passo 3
Remover o coeficiente
e cuidar da mudança de sinal:
Como é negativo, ao dividir os dois lados por
a desigualdade inverte:
Como
Isso é agora uma desigualdade do tipo “produto > 0”, que é mais fácil de analisar por sinais dos fatores.
Passo 4
Analisar os fatores separadamente (aulas rápidas sobre sinais e multiplicidade):
- O fator
é um quadrado; portanto para todo , e exatamente em . Como é quadrado (multiplicidade par), esse fator nunca troca de sinal ao passar por : ele fica zero em e positivo para todo . - O fator
é linear; ele é zero em , é negativo para e positivo para .
Para o produto
ser estritamente positivo, precisamos que:
- nenhum dos fatores seja zero (pois zero multiplicado dá zero e queremos > 0), e
- o produto dos sinais resulte em positivo.
Dado que
para todo
, o sinal do produto é determinado por
quando
. Assim:
- Se
e , então e , logo o produto . - Se
, então enquanto , logo o produto (não satisfaz). - Em
o produto é (não satisfaz porque é estritamente ). - Em
o produto é (não satisfaz).
Observação didática sobre multiplicidade: um zero de multiplicidade par (aqui
com multiplicidade
) não faz o sinal do produto trocar ao atravessá-lo — o produto toca zero e volta para o mesmo sinal. Já um zero de multiplicidade ímpar (aqui
com multiplicidade
) normalmente troca o sinal ao atravessá-lo.
Passo 5
Interpretação e como representar graficamente:
- Na reta numérica marque os pontos críticos
e com círculos abertos (porque em ambos a expressão vale , e a desigualdade é estrita). - Para
o produto é negativo → não faz parte da solução. - Para
o produto é positivo → esta região faz parte da solução. - Em
o produto é zero → ponto excluído. - Para
o produto é positivo → esta região também faz parte da solução.
No desenho: desenhar uma reta, marcar
e
, colocar círculos abertos nesses pontos, e pintar (sombrear) as regiões entre
e
e a região à direita de
.