Exercício 3 - Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.
\frac{x^{2}+3 x-4}{x}<\frac{x-1}{x+4}

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os intervalos de números reais que satisfazem a desigualdade
\frac{x^{2}+3x-4}{x} < \frac{x-1}{x+4}
e fazer a representação gráfica (ou seja, indicar numa reta numérica quais pontos estão incluídos). Informações relevantes dadas ou imediatamente observáveis:
  • A desigualdade envolve expressões racionais com denominadores x e x+4.
  • Portanto x não pode assumir os valores que anulam esses denominadores; isto é, x \neq 0 e x \neq -4. Esses pontos pertencem ao domínio como pontos excluídos (não podemos testar a desigualdade neles).

Passo 2

Passo natural: trazer tudo para um lado para trabalhar com uma única fração. Subtraindo o segundo membro do primeiro, obtemos
\frac{x^{2}+3x-4}{x} - \frac{x-1}{x+4} < 0.
Para somar/subtrair frações, usamos o mesmo denominador comum x(x+4). Colocando sobre esse denominador:
\frac{(x^{2}+3x-4)(x+4) - x(x-1)}{x(x+4)} < 0.

Passo 3

Agora vamos calcular cuidadosamente o numerador. Primeiro expandimos (x^{2}+3x-4)(x+4):
(x^{2}+3x-4)(x+4) = x^{2}(x+4) + 3x(x+4) -4(x+4).
Calculando cada termo:
x^{2}(x+4) = x^{3}+4x^{2},
3x(x+4)=3x^{2}+12x,
-4(x+4)=-4x-16.
Somando:
(x^{2}+3x-4)(x+4)=x^{3}+(4+3)x^{2}+(12-4)x-16 = x^{3}+7x^{2}+8x-16.
Agora subtrair x(x-1)=x^{2}-x:
\text{numerador }N = x^{3}+7x^{2}+8x-16 - (x^{2}-x) = x^{3}+6x^{2}+9x-16.
Portanto a desigualdade fica
\frac{x^{3}+6x^{2}+9x-16}{x(x+4)} < 0.

Passo 4

Precisamos entender o sinal do numerador N(x)=x^{3}+6x^{2}+9x-16. Tentamos fatorar procurando raízes racionais simples. Testando x=1:
N(1)=1+6+9-16=0,
portanto x-1 é fator. Fazendo divisão polinomial (ou método de Ruffini) por x-1 obtemos
x^{3}+6x^{2}+9x-16 = (x-1)\,(x^{2}+7x+16).
Agora analisamos o quadrático x^{2}+7x+16. Calculamos o discriminante para ver se ele tem raízes reais:
\Delta = 7^{2}-4\cdot1\cdot16 = 49-64 = -15 < 0.
Como \Delta<0 e o coeficiente do termo x^{2} é positivo, concluímos que x^{2}+7x+16>0 para todo x\in\mathbb{R}. Logo o sinal de N(x) é dado apenas pelo fator (x-1): ou seja,
\operatorname{sgn}(N(x)) = \operatorname{sgn}(x-1).
Em particular N(x)=0 somente em x=1, e N(x)<0 para x<1, N(x)>0 para x>1.

Passo 5

Agora fazemos a análise de sinais do quociente
\frac{N(x)}{x(x+4)} = \frac{(x-1)(x^{2}+7x+16)}{x(x+4)}.
Os pontos críticos (onde o sinal pode mudar) são as raízes do numerador e os zeros do denominador:
x=-4,\quad x=0,\quad x=1.
Dividimos a reta em intervalos com esses pontos e determinamos o sinal em cada intervalo. Lembre-se que x=-4 e x=0 deixam o denominador zero (portanto esses pontos são excluídos da solução) e x=1 zera o numerador (no caso da desigualdade estrita <0, x=1 não satisfaz).
Fazendo um teste de sinal em cada intervalo:
  • Intervalo (-\infty,-4). Pegue x=-5.
    • x-1=-6<0 (numerador negativo),
    • x=-5<0 e x+4=-1<0 então x(x+4)>0 (denominador positivo).
    • Quociente: negativo/positivo = negativo. Conclui-se que a desigualdade é verdadeira nesse intervalo.
  • Intervalo (-4,0). Pegue x=-2.
    • x-1=-3<0 (numerador negativo),
    • x=-2<0 e x+4=2>0 então x(x+4)<0 (denominador negativo).
    • Quociente: negativo/negativo = positivo. A desigualdade não é satisfeita aqui.
  • Intervalo (0,1). Pegue x=\tfrac{1}{2}.
    • x-1=-\tfrac{1}{2}<0 (numerador negativo),
    • x>0 e x+4>0 então x(x+4)>0 (denominador positivo).
    • Quociente: negativo/positivo = negativo. A desigualdade é satisfeita nesse intervalo.
  • Intervalo (1,\infty). Pegue x=2.
    • x-1=1>0 (numerador positivo),
    • x>0 e x+4>0 então x(x+4)>0 (denominador positivo).
    • Quociente: positivo/positivo = positivo. A desigualdade não é satisfeita aqui.
Além disso, pontos isolados:
  • x=-4 e x=0 não pertencem ao domínio (denominador zero), logo não podem ser incluídos.
  • x=1 faz o numerador zero, então a expressão vale 0 em x=1; como queremos <0 estrito, x=1 também não é solução.

Passo 6

Conclusão pela análise de sinais: a desigualdade é satisfeita exatamente nos dois intervalos onde o quociente é negativo, excluindo os pontos singulares:
(-\infty,-4)\quad\text{e}\quad(0,1).
Para representar graficamente na reta numérica: marcar os pontos x=-4, x=0 e x=1 como pontos abertos (excluídos) e sombrear (ou riscar) os trechos (-\infty,-4) e (0,1).

Resposta

(-\infty,-4)\cup(0,1)

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