Exercício 3 - Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os intervalos de números reais que satisfazem a desigualdade
e fazer a representação gráfica (ou seja, indicar numa reta numérica quais pontos estão incluídos). Informações relevantes dadas ou imediatamente observáveis:
- A desigualdade envolve expressões racionais com denominadores
e . - Portanto
não pode assumir os valores que anulam esses denominadores; isto é, e . Esses pontos pertencem ao domínio como pontos excluídos (não podemos testar a desigualdade neles).
Passo 2
Passo natural: trazer tudo para um lado para trabalhar com uma única fração. Subtraindo o segundo membro do primeiro, obtemos
Para somar/subtrair frações, usamos o mesmo denominador comum
. Colocando sobre esse denominador:
Passo 3
Agora vamos calcular cuidadosamente o numerador. Primeiro expandimos
:
Calculando cada termo:
Somando:
Agora subtrair
:
Portanto a desigualdade fica
Passo 4
Precisamos entender o sinal do numerador
. Tentamos fatorar procurando raízes racionais simples. Testando
:
portanto
é fator. Fazendo divisão polinomial (ou método de Ruffini) por
obtemos
Agora analisamos o quadrático
. Calculamos o discriminante para ver se ele tem raízes reais:
Como
e o coeficiente do termo
é positivo, concluímos que
para todo
. Logo o sinal de
é dado apenas pelo fator
: ou seja,
Em particular
somente em
, e
para
,
para
.
Passo 5
Agora fazemos a análise de sinais do quociente
Os pontos críticos (onde o sinal pode mudar) são as raízes do numerador e os zeros do denominador:
Dividimos a reta em intervalos com esses pontos e determinamos o sinal em cada intervalo. Lembre-se que
e
deixam o denominador zero (portanto esses pontos são excluídos da solução) e
zera o numerador (no caso da desigualdade estrita
,
não satisfaz).
Fazendo um teste de sinal em cada intervalo:
-
Intervalo
. Pegue . -
(numerador negativo), -
e então (denominador positivo). - Quociente: negativo/positivo
negativo. Conclui-se que a desigualdade é verdadeira nesse intervalo.
-
-
Intervalo
. Pegue . -
(numerador negativo), -
e então (denominador negativo). - Quociente: negativo/negativo
positivo. A desigualdade não é satisfeita aqui.
-
-
Intervalo
. Pegue . -
(numerador negativo), -
e então (denominador positivo). - Quociente: negativo/positivo
negativo. A desigualdade é satisfeita nesse intervalo.
-
-
Intervalo
. Pegue . -
(numerador positivo), -
e então (denominador positivo). - Quociente: positivo/positivo
positivo. A desigualdade não é satisfeita aqui.
-
Além disso, pontos isolados:
-
e não pertencem ao domínio (denominador zero), logo não podem ser incluídos. -
faz o numerador zero, então a expressão vale em ; como queremos estrito, também não é solução.
Passo 6
Conclusão pela análise de sinais: a desigualdade é satisfeita exatamente nos dois intervalos onde o quociente é negativo, excluindo os pontos singulares:
Para representar graficamente na reta numérica: marcar os pontos
,
e
como pontos abertos (excluídos) e sombrear (ou riscar) os trechos
e
.