Exercício 6. Determine o algarismo das unidades do número
.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o algarismo das unidades do número
.
Informações dadas: a base é e o expoente é
. Não há mais dados.
Informações dadas: a base é
Passo 2
O que significa “algarismo das unidades”: é o último dígito do número, ou seja, o resto da divisão por
. Em linguagem simples: dois inteiros têm o mesmo algarismo das unidades quando deixam o mesmo resto ao dividir por
. Por isso queremos calcular
isto é, o resto de
na divisão por
.
Passo 3
Um jeito prático de achar o algarismo das unidades de potências é observar a sequência dos algarismos das unidades das potências pequenas e ver se aparece um padrão periódico. Vou calcular algumas potências pequenas de
e anotar só o algarismo das unidades.
Passo 4
Calculemos explicitamente:
Agora multiplico mais uma vez por
para ver se o padrão volta:
Passo 5
Observando os algarismos das unidades obtidos nas potências, temos a sequência
ou seja, os algarismos das unidades repetem em ciclos de comprimento
. Em linguagem modular:
, então multiplicar por mais potências de
apenas percorre esse ciclo.
Passo 6
Portanto o algarismo das unidades de
depende do resto de
na divisão por
. Agora calcule o resto de
por
:
logo o resto é
. Isso significa que
tem o mesmo algarismo das unidades que
, isto é,
.