Exercício 6. Determine o algarismo das unidades do número 7^{17}.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o algarismo das unidades do número \,7^{17}.
Informações dadas: a base é \,7 e o expoente é \,17. Não há mais dados.

Passo 2

O que significa “algarismo das unidades”: é o último dígito do número, ou seja, o resto da divisão por 10. Em linguagem simples: dois inteiros têm o mesmo algarismo das unidades quando deixam o mesmo resto ao dividir por 10. Por isso queremos calcular
7^{17}\bmod 10,
isto é, o resto de \,7^{17} na divisão por \,10.

Passo 3

Um jeito prático de achar o algarismo das unidades de potências é observar a sequência dos algarismos das unidades das potências pequenas e ver se aparece um padrão periódico. Vou calcular algumas potências pequenas de \,7 e anotar só o algarismo das unidades.

Passo 4

Calculemos explicitamente:
7^1 = 7 \quad\text{(unidades: }7\text{)},
7^2 = 49 \quad\text{(unidades: }9\text{)},
7^3 = 343 \quad\text{(unidades: }3\text{)},
7^4 = 2401 \quad\text{(unidades: }1\text{)}.
Agora multiplico mais uma vez por 7 para ver se o padrão volta:
7^5 = 7^4\cdot 7 = 2401\cdot 7 = 16807 \quad\text{(unidades: }7\text{)}.

Passo 5

Observando os algarismos das unidades obtidos nas potências, temos a sequência
7,\;9,\;3,\;1,\;7,\;9,\;3,\;1,\;\dots
ou seja, os algarismos das unidades repetem em ciclos de comprimento 4. Em linguagem modular: \,7^4\equiv 1\pmod{10}, então multiplicar por mais potências de 7 apenas percorre esse ciclo.

Passo 6

Portanto o algarismo das unidades de \,7^n depende do resto de n na divisão por 4. Agora calcule o resto de 17 por 4:
17 = 4\cdot 4 + 1,
logo o resto é 1. Isso significa que 7^{17} tem o mesmo algarismo das unidades que 7^1, isto é, 7.

Resposta

\,7

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