Exercício 5. Mostre que
, para todo
inteiro ímpar.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que
para todo inteiro
ímpar. \n
Informações dadas e observações imediatas: \n
Informações dadas e observações imediatas: \n
-
é um inteiro ímpar (ou seja, para algum inteiro ). \n - O número
tem fatoração . \n
A missão é provar que o númeroé múltiplo de para todo ímpar.
Passo 2
Noções básicas que vamos usar (explicação didática): \n
- Dizemos que
quando divide . Isso significa que, ao trabalhar com restos, podemos substituir um número por outro que seja congruente módulo . \n - Propriedade importante: se
então para qualquer inteiro . Isso permite elevar congruências a potências. \n - Outra coisa útil:
. Em particular, se é ímpar então . \n
Vou usar essas propriedades para investigarmódulo e módulo separadamente. Se mostrar que é múltiplo de e de , como e são coprimos, o número será múltiplo de .
Passo 3
Divisibilidade por
(explicado passo a passo): \n
- Primeiro, calcule os restos de
e ao dividir por : \n - Observe que
. Como é ímpar (produto de por um número ímpar), temos (porque é ímpar). \n - Aplicando potências às congruências:
e - Somando essas duas congruências:
Portanto,
divide
.
Passo 4
Divisibilidade por
(explicado passo a passo): \n
- Calcule os restos de
e módulo : \n - Note que
e . Assim, - Para
temos Como é ímpar, . Portanto . \n - Usando as congruências:
Portanto,
divide
.
Passo 5
Conclusão final (combinação dos resultados): \n
- Já mostramos que
é múltiplo de e também múltiplo de . \n - Como
, se um inteiro é divisível por e por então ele é divisível por . (Isto decorre do fato de que e não têm fatores primos em comum, então o mínimo múltiplo comum é .) \n - Portanto, para todo
ímpar, é múltiplo de .