Exercício 5. Mostre que 45 \mid 13^{3 n}+17^{3 n}, para todo n inteiro ímpar.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que 45 \mid 13^{3n}+17^{3n} para todo inteiro n ímpar. \n
Informações dadas e observações imediatas: \n
  • n é um inteiro ímpar (ou seja, n=2k+1 para algum inteiro k). \n
  • O número 45 tem fatoração 45=9\cdot5. \n
    A missão é provar que o número 13^{3n}+17^{3n} é múltiplo de 45 para todo n ímpar.

Passo 2

Noções básicas que vamos usar (explicação didática): \n
  • Dizemos que a\equiv b\pmod{m} quando m divide a-b. Isso significa que, ao trabalhar com restos, podemos substituir um número por outro que seja congruente módulo m. \n
  • Propriedade importante: se a\equiv b\pmod{m} então a^r\equiv b^r\pmod{m} para qualquer inteiro r\ge0. Isso permite elevar congruências a potências. \n
  • Outra coisa útil: (-x)^r = (-1)^r x^r. Em particular, se r é ímpar então (-x)^r = -x^r. \n
    Vou usar essas propriedades para investigar 13^{3n}+17^{3n} módulo 5 e módulo 9 separadamente. Se mostrar que é múltiplo de 5 e de 9, como 5 e 9 são coprimos, o número será múltiplo de 45.

Passo 3

Divisibilidade por 5 (explicado passo a passo): \n
  • Primeiro, calcule os restos de 13 e 17 ao dividir por 5: \n 13\equiv 3\pmod{5},\qquad 17\equiv 2\pmod{5}.
  • Observe que 3\equiv -2\pmod{5}. Como 3n é ímpar (produto de 3 por um número ímpar), temos (-2)^{3n}=(-1)^{3n}2^{3n} = -2^{3n} (porque 3n é ímpar). \n
  • Aplicando potências às congruências: 13^{3n}\equiv 3^{3n}\equiv (-2)^{3n}\equiv -2^{3n}\pmod{5},e 17^{3n}\equiv 2^{3n}\pmod{5}.
  • Somando essas duas congruências: 13^{3n}+17^{3n}\equiv -2^{3n}+2^{3n}\equiv 0\pmod{5}.
Portanto, 5 divide 13^{3n}+17^{3n}.

Passo 4

Divisibilidade por 9 (explicado passo a passo): \n
  • Calcule os restos de 13 e 17 módulo 9: \n 13\equiv 4\pmod{9},\qquad 17\equiv 8\equiv -1\pmod{9}.
  • Note que 4^3=64 e 64\equiv 1\pmod{9}. Assim, 4^{3n}=(4^3)^n\equiv 1^n\equiv 1\pmod{9}.
  • Para 8\equiv -1 temos 8^{3n}\equiv (-1)^{3n}=(-1)^n\pmod{9}.Como n é ímpar, (-1)^n=-1. Portanto 8^{3n}\equiv -1\pmod{9}. \n
  • Usando as congruências: 13^{3n}+17^{3n}\equiv 4^{3n}+8^{3n}\equiv 1+(-1)\equiv 0\pmod{9}.
Portanto, 9 divide 13^{3n}+17^{3n}.

Passo 5

Conclusão final (combinação dos resultados): \n
  • Já mostramos que 13^{3n}+17^{3n} é múltiplo de 5 e também múltiplo de 9. \n
  • Como \gcd(5,9)=1, se um inteiro é divisível por 5 e por 9 então ele é divisível por 5\cdot9=45. (Isto decorre do fato de que 5 e 9 não têm fatores primos em comum, então o mínimo múltiplo comum é 45.) \n
  • Portanto, para todo n ímpar, 13^{3n}+17^{3n} é múltiplo de 45.

Resposta

45 \mid 13^{3n}+17^{3n}

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