Exercício 4. Determine o resto da divisão de 238^{29} por 13 .

Passo 1

O enunciado pede: determinar o resto da divisão de \;238^{29}\; por 13.
Informações relevantes dadas: o número a dividir é \;238^{29}\; e o divisor é 13.
Objetivo final: encontrar o inteiro r tal que \;0\le r\le 12\; e \;238^{29}\equiv r\pmod{13}.

Passo 2

Primeiro precisamos entender o que significa trabalhar “resto da divisão” em termos que vamos usar: congruência modular. Vou explicar de forma simples e prática.
Definição: dizemos que dois inteiros a e b são congruentes módulo m quando \;m divide a-b. Escrevemos isso como \;a\equiv b\pmod{m}. Isso quer dizer que a e b deixam o mesmo resto na divisão por m.
Propriedade útil: se \;a\equiv b\pmod{m} e \;c\equiv d\pmod{m}, então podemos somar e multiplicar congruências: \;a+c\equiv b+d\pmod{m} e \;ac\equiv bd\pmod{m}. Em particular, podemos reduzir qualquer base ou produto módulo m a um número menor antes de elevar a potências — isso facilita muito os cálculos.

Passo 3

Reduzimos a base \;238 módulo 13 para trabalhar com um número pequeno. Vamos calcular o resto de \;238 na divisão por \;13.
Observação: 13\cdot18=234. Logo,
238-234=4,
portanto
238\equiv 4\pmod{13}.
Assim podemos substituir \;238^{29} por \;4^{29} quando trabalhamos módulo 13:
238^{29}\equiv 4^{29}\pmod{13}.

Passo 4

Agora vamos reduzir a potência \;4^{29}\pmod{13}. Uma ferramenta muito útil aqui é o Pequeno Teorema de Fermat. Vou explicar e mostrar por que ele serve.
Enunciado do Pequeno Teorema de Fermat (forma prática): se p é primo e a não é múltiplo de p, então
a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}.
No nosso caso p=13 (que é primo) e a=4 (não múltiplo de 13). Então vale
4^{12}\equiv 1\pmod{13}.
Isso nos permite reduzir expoentes grandes módulo 12, porque potências de 4 repetem com período divisível por 12.

Passo 5

Usamos a decomposição do expoente 29 em relação a 12. Dividindo 29 por 12:
29 = 12\cdot 2 + 5.
Portanto
4^{29} = (4^{12})^{2}\cdot 4^{5}.
Aplicando a congruência de Fermat:
(4^{12})^{2}\equiv 1^{2}\equiv 1\pmod{13},
logo
4^{29}\equiv 4^{5}\pmod{13}.
Então só precisamos calcular \;4^{5}\pmod{13}.

Passo 6

Vamos calcular \;4^{5} reduzindo passo a passo e simplificando módulo 13 a cada multiplicação (isso evita números grandes).
Calculemos potências menores:
4^{1}\equiv 4\pmod{13}.
4^{2}=16\equiv 16-13=3\pmod{13}.
4^{3}=4\cdot 4^{2}\equiv 4\cdot 3=12\pmod{13}.
4^{4}=4\cdot 4^{3}\equiv 4\cdot 12=48.
Reduzindo 48 módulo 13: 13\cdot3=39, 48-39=9. Logo
4^{4}\equiv 9\pmod{13}.
4^{5}=4\cdot 4^{4}\equiv 4\cdot 9=36.
Reduzindo 36 módulo 13: 13\cdot2=26, 36-26=10. Assim
4^{5}\equiv 10\pmod{13}.

Passo 7

Portanto, voltando ao que precisamos:
238^{29}\equiv 4^{29}\equiv 4^{5}\equiv 10\pmod{13}.
Ou seja, o resto da divisão de \;238^{29} por 13 é \;10.

Resposta

10

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