Exercício 1. Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se
, então u e v são paralelos e têm o mesmo sentido.
Se
Passo 1
O enunciado dá a igualdade entre normas de vetores:
e pede que se determine se a afirmação seguinte é verdadeira ou falsa, justificando: “então
e
são paralelos e têm o mesmo sentido.”
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Há dois vetores
e em um espaço euclidiano (norma e produto interno padrão). - Conhecemos apenas a igualdade entre as normas
e . - A questão pede uma conclusão sobre paralelismo e sentido (direção) entre
e , com justificativa.
Passo 2
Vamos lembrar e explicar dois conceitos fundamentais que usaremos:
- Norma e produto interno:
- Para um vetor
, a norma euclidiana é definida por , onde é o produto interno (escalar). - Propriedade útil:
.
- Desigualdade de Cauchy–Schwarz:
- Para quaisquer vetores
e vale
- A igualdade em Cauchy–Schwarz ocorre exatamente quando os vetores são linearmente dependentes, isto é, quando existe
tal que . (Se algum vetor for o vetor nulo, a igualdade também ocorre e a dependência linear é satisfeita com .)
Esses fatos serão usados para transformar a hipótese dada em informação sobre o produto interno entre
e
e então inferir relação entre eles.
Passo 3
Parto da hipótese e elevo ao quadrado ambos os lados (isso é seguro porque normas são não negativas):
Agora desenvolvo cada lado usando
e a bilinearidade do produto interno:
E o lado direito:
Comparando as duas expressões, os termos
e
cancelam, sobrando
Dividindo por
obtemos a igualdade chave
Passo 4
Compare essa igualdade com a desigualdade de Cauchy–Schwarz, que diz
Como aqui temos igualdade, pela condição de igualdade em Cauchy–Schwarz segue que
e
são linearmente dependentes: existe
tal que
Isso significa precisamente que
e
são paralelos (um é múltiplo escalar do outro).
Passo 5
Falta determinar o sinal do escalar
(isto é, se têm o mesmo sentido ou sentidos opostos). Substituo
na igualdade
. Calculando:
Por outro lado,
logo
Igualando as duas expressões obtidas:
Se
(isto é,
) então a igualdade inicial é satisfeita para qualquer
e a relação acima é verdadeira; nesse caso
é o vetor nulo e pode ser escrito como
, isto é, é um múltiplo escalar (com escalar
) de
. Se
, podemos dividir por
e obter
o que implica
Portanto, em todos os casos (inclusive quando um dos vetores é o zero), o múltiplo escalar que relaciona
e
é não negativo. Isso significa que
é um múltiplo não negativo de
:
com
.
Passo 6
Interpretando o resultado:
com
significa que
e
são paralelos e apontam para o mesmo sentido quando
. Se
isso corresponde ao caso em que um dos vetores é o vetor nulo; por convenção o vetor nulo é múltiplo de qualquer vetor (escalar
), e a igualdade inicial é satisfeita. Portanto a conclusão pedida — que
e
são paralelos e têm o mesmo sentido — é correta (com a observação natural do caso degenerado
, que é tratado pelo
).
Resposta
Verdadeira.