Exercício 1. Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se \|\vec{u}+\vec{v}\|=\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\}, então u e v são paralelos e têm o mesmo sentido.

Passo 1

O enunciado dá a igualdade entre normas de vetores:
\|\vec{u}+\vec{v}\|=\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|
e pede que se determine se a afirmação seguinte é verdadeira ou falsa, justificando: “então \vec{u} e \vec{v} são paralelos e têm o mesmo sentido.”
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Há dois vetores \vec{u} e \vec{v} em um espaço euclidiano (norma e produto interno padrão).
  • Conhecemos apenas a igualdade entre as normas \|\vec{u}+\vec{v}\| e \|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|.
  • A questão pede uma conclusão sobre paralelismo e sentido (direção) entre \vec{u} e \vec{v}, com justificativa.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar dois conceitos fundamentais que usaremos:
  1. Norma e produto interno:
  • Para um vetor \vec{w}, a norma euclidiana é definida por \|\vec{w}\|=\sqrt{\langle\vec{w},\vec{w}\rangle}, onde \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto interno (escalar).
  • Propriedade útil: \|\vec{w}\|^2=\langle\vec{w},\vec{w}\rangle.
  1. Desigualdade de Cauchy–Schwarz:
  • Para quaisquer vetores \vec{a} e \vec{b} vale
\langle\vec{a},\vec{b}\rangle \le \|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|.
  • A igualdade em Cauchy–Schwarz ocorre exatamente quando os vetores são linearmente dependentes, isto é, quando existe \lambda\in\mathbb{R} tal que \vec{b}=\lambda\vec{a}. (Se algum vetor for o vetor nulo, a igualdade também ocorre e a dependência linear é satisfeita com \lambda=0.)
Esses fatos serão usados para transformar a hipótese dada em informação sobre o produto interno entre \vec{u} e \vec{v} e então inferir relação entre eles.

Passo 3

Parto da hipótese e elevo ao quadrado ambos os lados (isso é seguro porque normas são não negativas):
\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \big(\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|\big)^2.
Agora desenvolvo cada lado usando \|\vec{w}\|^2=\langle\vec{w},\vec{w}\rangle e a bilinearidade do produto interno:
\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \langle\vec{u}+\vec{v},\vec{u}+\vec{v}\rangle = \langle\vec{u},\vec{u}\rangle + 2\langle\vec{u},\vec{v}\rangle + \langle\vec{v},\vec{v}\rangle = \|\vec{u}\|^2 + 2\langle\vec{u},\vec{v}\rangle + \|\vec{v}\|^2.
E o lado direito:
\big(\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|\big)^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\| + \|\vec{v}\|^2.
Comparando as duas expressões, os termos \|\vec{u}\|^2 e \|\vec{v}\|^2 cancelam, sobrando
2\langle\vec{u},\vec{v}\rangle = 2\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|.
Dividindo por 2 obtemos a igualdade chave
\langle\vec{u},\vec{v}\rangle = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|.

Passo 4

Compare essa igualdade com a desigualdade de Cauchy–Schwarz, que diz
\langle\vec{u},\vec{v}\rangle \le \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|.
Como aqui temos igualdade, pela condição de igualdade em Cauchy–Schwarz segue que \vec{u} e \vec{v} são linearmente dependentes: existe \lambda\in\mathbb{R} tal que
\vec{v}=\lambda\vec{u}.
Isso significa precisamente que \vec{u} e \vec{v} são paralelos (um é múltiplo escalar do outro).

Passo 5

Falta determinar o sinal do escalar \lambda (isto é, se têm o mesmo sentido ou sentidos opostos). Substituo \vec{v}=\lambda\vec{u} na igualdade \langle\vec{u},\vec{v}\rangle = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|. Calculando:
\langle\vec{u},\vec{v}\rangle = \langle\vec{u},\lambda\vec{u}\rangle = \lambda\langle\vec{u},\vec{u}\rangle = \lambda\|\vec{u}\|^2.
Por outro lado,
\|\vec{v}\| = \|\lambda\vec{u}\| = |\lambda|\,\|\vec{u}\|,
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\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\| = \|\vec{u}\|\,|\lambda|\,\|\vec{u}\| = |\lambda|\,\|\vec{u}\|^2.
Igualando as duas expressões obtidas:
\lambda\|\vec{u}\|^2 = |\lambda|\,\|\vec{u}\|^2.
Se \|\vec{u}\|=0 (isto é, \vec{u}=\vec{0}) então a igualdade inicial é satisfeita para qualquer \vec{v} e a relação acima é verdadeira; nesse caso \vec{u} é o vetor nulo e pode ser escrito como 0\cdot\vec{v}, isto é, é um múltiplo escalar (com escalar 0) de \vec{v}. Se \|\vec{u}\|\neq 0, podemos dividir por \|\vec{u}\|^2 e obter
\lambda = |\lambda|,
o que implica
\lambda \ge 0.
Portanto, em todos os casos (inclusive quando um dos vetores é o zero), o múltiplo escalar que relaciona \vec{v} e \vec{u} é não negativo. Isso significa que \vec{v} é um múltiplo não negativo de \vec{u}: \vec{v}=\lambda\vec{u} com \lambda\ge 0.

Passo 6

Interpretando o resultado: \vec{v}=\lambda\vec{u} com \lambda\ge 0 significa que \vec{u} e \vec{v} são paralelos e apontam para o mesmo sentido quando \lambda>0. Se \lambda=0 isso corresponde ao caso em que um dos vetores é o vetor nulo; por convenção o vetor nulo é múltiplo de qualquer vetor (escalar 0), e a igualdade inicial é satisfeita. Portanto a conclusão pedida — que \vec{u} e \vec{v} são paralelos e têm o mesmo sentido — é correta (com a observação natural do caso degenerado \vec{0}, que é tratado pelo \lambda=0).

Resposta

Verdadeira.

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