(1,5 ponto) Prove que o conjunto dos números pares 2 \mathbb{N} é ilimitado superiormente.

Passo 1

O enunciado pede: provar que o conjunto dos números pares 2\mathbb{N}=\{2n \mid n\in\mathbb{N}\} é ilimitado superiormente.
Informações dadas e o que precisamos mostrar:
  • O conjunto é 2\mathbb{N}=\{2,4,6,8,\dots\}.
  • Precisamos mostrar que não existe um número real M que seja maior ou igual a todos os elementos de 2\mathbb{N}. Em linguagem lógica: provar que para todo M\in\mathbb{R} existe x\in2\mathbb{N} tal que x>M.

Passo 2

Definição precisa do que significa “ilimitado superiormente” (ou “não ter limite superior”):
Dizemos que um conjunto A\subset\mathbb{R} é ilimitado superiormente quando NÃO existe M\in\mathbb{R} tal que a\le M para todo a\in A. Equivalente (forma útil para construir a prova): para todo M\in\mathbb{R} existe a\in A com a>M.
Vou usar essa forma equivalente: dado um M qualquer, vou construir um elemento de 2\mathbb{N} maior que M.

Passo 3

Construção explícita do elemento maior que um M arbitrário. Seja M\in\mathbb{R} arbitrário. Defina
k=\lfloor M/2\rfloor,
ou seja, k é a parte inteira (floor) de M/2. Pela definição de parte inteira temos
k \le \frac{M}{2} < k+1.
Agora tome
n=k+1.
Observe que n\in\mathbb{N} (parte inteira mais 1 é natural). Da desigualdade acima tiramos
n = k+1 > \frac{M}{2}.

Passo 4

A partir de n>\dfrac{M}{2} multiplicamos por 2 (multiplicar por 2>0 preserva a desigualdade) e obtemos
2n > M.
Mas 2n é um elemento de 2\mathbb{N}. Assim, dado o M arbitrário escolhido, conseguimos encontrar 2n\in2\mathbb{N} tal que 2n>M. Isso mostra exatamente que não existe M que seja maior ou igual a todos os elementos de 2\mathbb{N}.

Passo 5

Comentário prático e motivador: a ideia é simples e muito útil em provas: para qualquer limite hipotético M basta pegar um natural maior que M/2 (a construção com a parte inteira garante isso) e então o dobro desse natural é um par maior que M. Portanto os pares vão crescendo sem teto — não existe maior par.

Resposta

O conjunto 2\mathbb{N} é ilimitado superiormente.

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