(1,5 ponto) Prove que o conjunto dos números pares
é ilimitado superiormente.
Passo 1
O enunciado pede: provar que o conjunto dos números pares
é ilimitado superiormente.
Informações dadas e o que precisamos mostrar:
Informações dadas e o que precisamos mostrar:
- O conjunto é
. - Precisamos mostrar que não existe um número real
que seja maior ou igual a todos os elementos de . Em linguagem lógica: provar que para todo existe tal que .
Passo 2
Definição precisa do que significa “ilimitado superiormente” (ou “não ter limite superior”):
Dizemos que um conjunto é ilimitado superiormente quando NÃO existe
tal que
para todo
. Equivalente (forma útil para construir a prova): para todo
existe
com
.
Vou usar essa forma equivalente: dado um qualquer, vou construir um elemento de
maior que
.
Dizemos que um conjunto
Vou usar essa forma equivalente: dado um
Passo 3
Construção explícita do elemento maior que um
arbitrário. Seja
arbitrário. Defina
ou seja,
é a parte inteira (floor) de
. Pela definição de parte inteira temos
Agora tome
Observe que
(parte inteira mais 1 é natural). Da desigualdade acima tiramos
Passo 4
A partir de
multiplicamos por
(multiplicar por
preserva a desigualdade) e obtemos
Mas
é um elemento de
. Assim, dado o
arbitrário escolhido, conseguimos encontrar
tal que
. Isso mostra exatamente que não existe
que seja maior ou igual a todos os elementos de
.
Passo 5
Comentário prático e motivador: a ideia é simples e muito útil em provas: para qualquer limite hipotético
basta pegar um natural maior que
(a construção com a parte inteira garante isso) e então o dobro desse natural é um par maior que
. Portanto os pares vão crescendo sem teto — não existe maior par.
Resposta
O conjunto
é ilimitado superiormente.