(1,5 ponto) Sejam
e
números naturais. Prove que se
e se
, então
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
, e são números naturais. - Sabe-se que
. - Sabe-se que
.
O que o enunciado pede:
- Provar que, a partir das hipóteses acima, segue que
.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar (e usar) a definição de ordem estrita em
que vamos adotar: Para números naturais
e
,
significa que existe um número natural
diferente de zero (ou seja,
e
) tal que
Explicando em palavras: dizer que
quer dizer que
é obtido somando-se a
um número natural positivo. Isso é uma definição padrão e muito útil para provas elementares com naturais.
Passo 3
Aplicando essa definição à hipótese
: existe um natural
tal que
e
Aqui explico: escolhemos a letra
para representar o incremento que transforma
em
.
Passo 4
Aplicando a mesma definição à hipótese
: existe um natural
tal que
e
Escolhemos a letra
para o incremento que transforma
em
.
Passo 5
Agora substituímos a expressão de
da Passo 3 na expressão de
da Passo 4. Assim,
Usando a propriedade associativa da adição em
(que diz que
), obtemos
Passo 6
Mostramos que
é um natural estritamente positivo. De fato, como
e
, tem-se
. Portanto
é um número natural e
, ou seja,
não é zero.
Passo 7
Pela definição de ordem estrita em
(vista no Passo 2), ter escrito
com
e
é exatamente a condição que garante
. Logo concluímos
Passo 8
Para fixar a intuição, um exemplo numérico simples: se
,
e
, então
e
. Daí
e como
temos
. A prova geral é a mesma ideia, só com variáveis.