(1,5 ponto) Sejam m, n e p números naturais. Prove que se m<n e se n<p, então m<p.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • m, n e p são números naturais.
  • Sabe-se que m<n.
  • Sabe-se que n<p.
O que o enunciado pede:
  • Provar que, a partir das hipóteses acima, segue que m<p.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar (e usar) a definição de ordem estrita em \mathbb{N} que vamos adotar: Para números naturais a e b,
a<b
significa que existe um número natural k diferente de zero (ou seja, k\in\mathbb{N} e k\ge 1) tal que
b=a+k.
Explicando em palavras: dizer que a<b quer dizer que b é obtido somando-se a a um número natural positivo. Isso é uma definição padrão e muito útil para provas elementares com naturais.

Passo 3

Aplicando essa definição à hipótese m<n: existe um natural r tal que r\ge 1 e
n = m + r.
Aqui explico: escolhemos a letra r para representar o incremento que transforma m em n.

Passo 4

Aplicando a mesma definição à hipótese n<p: existe um natural s tal que s\ge 1 e
p = n + s.
Escolhemos a letra s para o incremento que transforma n em p.

Passo 5

Agora substituímos a expressão de n da Passo 3 na expressão de p da Passo 4. Assim,
p = n + s = (m + r) + s.
Usando a propriedade associativa da adição em \mathbb{N} (que diz que (m+r)+s = m+(r+s)), obtemos
p = m + (r + s).

Passo 6

Mostramos que r+s é um natural estritamente positivo. De fato, como r\ge 1 e s\ge 1, tem-se r+s \ge 1+1 = 2. Portanto r+s é um número natural e r+s\ge 1, ou seja, r+s não é zero.

Passo 7

Pela definição de ordem estrita em \mathbb{N} (vista no Passo 2), ter escrito
p = m + (r+s)
com r+s\in\mathbb{N} e r+s\ge 1 é exatamente a condição que garante m<p. Logo concluímos
m<p.

Passo 8

Para fixar a intuição, um exemplo numérico simples: se m=2, n=5 e p=8, então n=m+3 e p=n+3. Daí p=m+(3+3)=m+6 e como 6\ge1 temos m<p. A prova geral é a mesma ideia, só com variáveis.

Resposta

\,m<p

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