EXERCÍCIO 1.2-1 Determine a carga que entrou em um componente até o instante t, sabendo que i(t)=8 t^{2}-4 t A para t \geq 0 e q(t)=0 para t<0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a carga q(t) acumulada em um componente a partir da corrente instantânea i(t). O conteúdo aqui é a relação fundamental da eletrodinâmica que liga carga e corrente:
q(t)=q(t_0)+\int_{t_0}^{t}i(\tau)\,d\tau.
Como nos dizem que q(t)=0 para t<0, vamos usar t_0=0 e q(0)=0.

Passo 2

Para t<0, já está dado que
q(t)=0.

Passo 3

Para t\geq 0, usamos
q(t)=q(0)+\int_{0}^{t}i(\tau)\,d\tau
com i(\tau)=8\,\tau^{2}-4\,\tau e q(0)=0. Assim,
q(t)=\int_{0}^{t}\bigl(8\,\tau^{2}-4\,\tau\bigr)\,d\tau =8\int_{0}^{t}\tau^{2}\,d\tau-4\int_{0}^{t}\tau\,d\tau =\frac{8}{3}t^{3}-2t^{2}.

Resposta

Para resumir,
q(t)= \begin{cases} 0, & t<0,\\\ \displaystyle \frac{8}{3}t^{3}-2t^{2}, & t\geq 0. \end{cases}

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