Exercício 1: Determine os coeficientes da representação em série de Fourier dos seguintes sinais: x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} p(t-k 5), p(t)=u(t+1)-2 u(t)+u(t-1)
Vou usar esses dados para achar explicitamente os coeficientes (complexos) da série de Fourier de x(t).
Passo 2
Entender [p(t)) em partes: a função degrau u(t) vale 0 para t<0 e 1 para t>0 (o valor em pontos de descontinuidade não altera integrais). Faço a análise por intervalos para p(t):
Para t<-1: u(t+1)=0,\\ u(t)=0,\\ u(t-1)=0\Rightarrow p(t)=0.
Para -1\le t<0: u(t+1)=1,\\ u(t)=0,\\ u(t-1)=0\Rightarrow p(t)=1.
Para 0\le t<1: u(t+1)=1,\\ u(t)=1,\\ u(t-1)=0\Rightarrow p(t)=1-2=-1.
Para t\ge1: u(t+1)=1,\\ u(t)=1,\\ u(t-1)=1\Rightarrow p(t)=0.
Como x(t)\] é a soma de cópias de \(p deslocadas de 5k, x(t) é periódica com período
T=5.]
Passo 3
Vou usar a série de Fourier complexa. Para um sinal periódico de período T definimos a frequência fundamental
\omega_0=\frac{2\pi}{T}.
Os coeficientes complexos C_n são dados por
C_n=\frac{1}{T}\int_{T_{\text{per}}} x(t)\,e^{-j n \omega_0 t}\,dt,
onde a integral é tomada sobre qualquer intervalo de comprimento T. Aqui T=5 e \omega_0=\dfrac{2\pi}{5}.
Como x(t) é a repetição de p(t), numa janela de comprimento T a integral sobre x(t) reduz-se à integral sobre p(t) (pois fora de [-1,1) dentro do período p é zero). Logo para n\in\mathbb{Z}:
C_n=\frac{1}{5}\int_{-1}^{1} p(t)\,e^{-j n \omega_0 t}\,dt.
Passo 4
Separar a integral conforme os pedaços de p(t):
C_n=\frac{1}{5}\left(\int_{-1}^{0} 1\cdot e^{-j n \omega_0 t}\,dt +\int_{0}^{1} (-1)\cdot e^{-j n \omega_0 t}\,dt\right).
Defino a=n\omega_0 para simplificar a escrita (a=n\frac{2\pi}{5}). Calculo as duas integrais:
Primeira integral
I_1=\int_{-1}^{0} e^{-j a t}\,dt = \left.\frac{e^{-j a t}}{-j a}\right|_{-1}^{0} = \frac{e^{j a}-1}{j a}.
Segunda integral
I_2=\int_{0}^{1} (-1)e^{-j a t}\,dt = -\int_{0}^{1} e^{-j a t}\,dt = -\left.\frac{e^{-j a t}}{-j a}\right|_{0}^{1} = \frac{e^{-j a}-1}{j a}.
Observação sobre natureza dos coeficientes: C_n é puramente imaginário (tem fator j) e C_{-n}=-C_n, coerente com x(t) ser função real e ímpar (apenas termos senoidais na expansão real).
Passo 8
Opcionalmente posso dar os coeficientes reais da forma seno-cosseno. Como x(t) é ímpar, os coeficientes de cosseno e o termo a_0 são zero; os coeficientes senoidais b_n (na forma x(t)=\sum_{n=1}^\infty b_n\sin(n\omega_0 t)) relacionam-se com C_n por b_n=2jC_n. Assim, para n\ge1,