Exercício 2: Determine as transformadas de Fourier dos seguintes sinais
, sendo
uma constante.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a transformada de Fourier do sinal
, onde
é uma constante.
Informações dadas:
e
é uma constante real.
Pergunta explícita: encontrar , a transformada de Fourier em função de
.
Informações dadas:
Pergunta explícita: encontrar
Passo 2
Vou usar a convenção padrão mais comum na teoria de sinais contínuos: a transformada de Fourier de um sinal
é
Aqui explico cada símbolo:
é a variável temporal,
é a frequência angular (rad/s), e
é a unidade imaginária, isto é,
. A transformada
geralmente é uma função (ou distribuição) de
.
Passo 3
Primeiro usamos a identidade de Euler para escrever o cosseno como soma de exponenciais complexas. A identidade é
Aplicando a
temos
Explicação didática: isso transforma um sinal real (cosseno) em combinação linear de dois sinais exponenciais complexos deslocados em frequência.
Passo 4
Usamos a propriedade da linearidade da transformada de Fourier: se
então
. Assim, basta conhecer a transformada de
e
e combinar com os fatores
.
Passo 5
Calcular a transformada de uma exponencial complexa:
A integral
não converge como função ordinária; no sentido das distribuições (funções generalizadas) ela representa
vezes o delta de Dirac centrado em
. Ou seja,
Explicação do delta:
é uma “função” que é zero para
e que satisfaz
para qualquer função teste
. Intuitivamente, a exponencial pura concentra toda a sua energia na frequência
.
De modo análogo,
(Observe a mudança de sinal no deslocamento do delta.)
Passo 6
Agora voltamos ao cosseno decomposto em Passo 3 e aplicamos linearidade usando os resultados do Passo 5:
Substituindo os deltas:
Simplificando os fatores:
Passo 7
Interpretação e verificação rápida pelo inverso: a transformada inversa (na mesma convenção) é
Se substituirmos
e usarmos a propriedade do delta, obtemos
o que confirma que a transformada encontrada é consistente.
Passo 8
Observações úteis para a prova:
- A transformada de um cosseno contínuo e infinito no tempo é composta por dois picos (deltas) em
. - Se na sua prova o enunciado usar frequência em hertz
em vez de , lembre que . - Lembre-se de que estamos trabalhando com distribuições; exponenciais puras não têm uma transformada como função ordinária, mas sim como combinação de deltas.