Exercício 2: Determine as transformadas de Fourier dos seguintes sinais
\quad x(t)=\cos \left(\omega_{0} t\right), sendo \omega_{0} uma constante.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a transformada de Fourier do sinal \;x(t)=\cos\!\big(\omega_{0} t\big)\;, onde \omega_{0} é uma constante.
Informações dadas:
\;x(t)=\cos\!\big(\omega_{0} t\big)\; e \omega_{0} é uma constante real.
Pergunta explícita: encontrar \;X(\omega)=\mathcal{F}\{x(t)\}\;, a transformada de Fourier em função de \omega.

Passo 2

Vou usar a convenção padrão mais comum na teoria de sinais contínuos: a transformada de Fourier de um sinal x(t) é
X(\omega)=\mathcal{F}\{x(t)\}=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.
Aqui explico cada símbolo: \;t\in\mathbb{R}\; é a variável temporal, \;\omega\in\mathbb{R}\; é a frequência angular (rad/s), e \;j\; é a unidade imaginária, isto é, \;j^{2}=-1\;. A transformada X(\omega) geralmente é uma função (ou distribuição) de \omega.

Passo 3

Primeiro usamos a identidade de Euler para escrever o cosseno como soma de exponenciais complexas. A identidade é
\cos\theta=\frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}{2}.
Aplicando a \theta=\omega_{0} t temos
x(t)=\cos\!\big(\omega_{0} t\big)=\frac{1}{2}\,e^{j\omega_{0} t}+\frac{1}{2}\,e^{-j\omega_{0} t}.
Explicação didática: isso transforma um sinal real (cosseno) em combinação linear de dois sinais exponenciais complexos deslocados em frequência.

Passo 4

Usamos a propriedade da linearidade da transformada de Fourier: se \;x(t)=a\,x_1(t)+b\,x_2(t)\; então \;X(\omega)=a\,X_1(\omega)+b\,X_2(\omega)\;. Assim, basta conhecer a transformada de e^{j\omega_{0} t} e e^{-j\omega_{0} t} e combinar com os fatores 1/2.

Passo 5

Calcular a transformada de uma exponencial complexa:
\mathcal{F}\{e^{j\omega_{0} t}\}=\int_{-\infty}^{\infty} e^{j\omega_{0} t}\,e^{-j\omega t}\,dt=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j(\omega-\omega_{0})t}\,dt.
A integral \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j(\omega-\omega_{0})t}\,dt não converge como função ordinária; no sentido das distribuições (funções generalizadas) ela representa 2\pi vezes o delta de Dirac centrado em \omega=\omega_{0}. Ou seja,
\mathcal{F}\{e^{j\omega_{0} t}\}=2\pi\,\delta(\omega-\omega_{0}).
Explicação do delta: \delta(\omega-\omega_{0}) é uma “função” que é zero para \omega\neq\omega_{0} e que satisfaz \int_{-\infty}^{\infty} \delta(\omega-\omega_{0})\,\varphi(\omega)\,d\omega=\varphi(\omega_{0}) para qualquer função teste \varphi. Intuitivamente, a exponencial pura concentra toda a sua energia na frequência \omega_{0}.
De modo análogo,
\mathcal{F}\{e^{-j\omega_{0} t}\}=2\pi\,\delta(\omega+\omega_{0}).
(Observe a mudança de sinal no deslocamento do delta.)

Passo 6

Agora voltamos ao cosseno decomposto em Passo 3 e aplicamos linearidade usando os resultados do Passo 5:
X(\omega)=\mathcal{F}\{x(t)\}=\frac{1}{2}\,\mathcal{F}\{e^{j\omega_{0} t}\}+\frac{1}{2}\,\mathcal{F}\{e^{-j\omega_{0} t}\}.
Substituindo os deltas:
X(\omega)=\frac{1}{2}\cdot 2\pi\,\delta(\omega-\omega_{0})+\frac{1}{2}\cdot 2\pi\,\delta(\omega+\omega_{0}).
Simplificando os fatores:
X(\omega)=\pi\,\delta(\omega-\omega_{0})+\pi\,\delta(\omega+\omega_{0}).

Passo 7

Interpretação e verificação rápida pelo inverso: a transformada inversa (na mesma convenção) é
x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega.
Se substituirmos X(\omega)=\pi\delta(\omega-\omega_{0})+\pi\delta(\omega+\omega_{0}) e usarmos a propriedade do delta, obtemos
x(t)=\frac{1}{2\pi}\big(\pi e^{j\omega_{0} t}+\pi e^{-j\omega_{0} t}\big)=\frac{1}{2}\big(e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}\big)=\cos\!\big(\omega_{0} t\big),
o que confirma que a transformada encontrada é consistente.

Passo 8

Observações úteis para a prova:
  • A transformada de um cosseno contínuo e infinito no tempo é composta por dois picos (deltas) em \omega=\pm\omega_{0}.
  • Se na sua prova o enunciado usar frequência em hertz f_{0} em vez de \omega_{0}, lembre que \omega_{0}=2\pi f_{0}.
  • Lembre-se de que estamos trabalhando com distribuições; exponenciais puras não têm uma transformada como função ordinária, mas sim como combinação de deltas.

Resposta

\;X(\omega)=\pi\,\delta(\omega-\omega_{0})+\pi\,\delta(\omega+\omega_{0})

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