Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}).
\overrightarrow{E N}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{E N} com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}).
Informações relevantes fornecidas (peguei estes dados da imagem):
  • A base é formada por \overrightarrow{A F} (um passo para a direita na malha) e \overrightarrow{A B} (um passo para cima na malha).
  • A malha é uma grade de paralelogramos; os pontos marcados correspondem a combinações inteiras desses passos. Em coordenadas relativas a A usando a base (\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}) (coluna, linha):
    • A=(0,0)
    • F=(1,0), H=(2,0), J=(3,0), D=(4,0)
    • K=(0,1), L=(1,1), M=(2,1), N=(3,1), P=(4,1)
    • B=(0,2), E=(1,2), G=(2,2), I=(3,2), C=(4,2)

Passo 2

Conceito importante (mini-aula curta): o que significa “coordenadas de um vetor na base (\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B})”.
  • Fixando A como origem, qualquer vetor pode ser escrito como combinação linear x\,\overrightarrow{A F}+y\,\overrightarrow{A B},onde x e y são os coeficientes (as coordenadas) na base. Esses x e y são justamente os números que queremos encontrar para \overrightarrow{E N}.
  • Se um ponto X tem coordenadas (a,b) relativas a A nessa base, isso significa \overrightarrow{A X}=a\,\overrightarrow{A F}+b\,\overrightarrow{A B}.

Passo 3

Achar as coordenadas de \overrightarrow{A E} e \overrightarrow{A N} (usando os dados que peguei da imagem).
  • Pela lista acima, E tem coordenadas (1,2), então \overrightarrow{A E}=1\,\overrightarrow{A F}+2\,\overrightarrow{A B}.
  • Pela lista acima, N tem coordenadas (3,1), então \overrightarrow{A N}=3\,\overrightarrow{A F}+1\,\overrightarrow{A B}.

Passo 4

Expressar \overrightarrow{E N} em função de \overrightarrow{A E} e \overrightarrow{A N} e calcular as coordenadas.
  • Fórmula útil: \overrightarrow{E N}=\overrightarrow{A N}-\overrightarrow{A E}.
  • Substituindo as expressões obtidas: \overrightarrow{E N}=(3\,\overrightarrow{A F}+1\,\overrightarrow{A B})-(1\,\overrightarrow{A F}+2\,\overrightarrow{A B}).
  • Calculando termo a termo: \overrightarrow{E N}=(3-1)\,\overrightarrow{A F}+(1-2)\,\overrightarrow{A B}=2\,\overrightarrow{A F}+(-1)\,\overrightarrow{A B}.

Passo 5

Interpretação e cheque rápido:
  • A coordenada 2 na direção \overrightarrow{A F} significa mover duas colunas para a direita; a coordenada -1 na direção \overrightarrow{A B} significa descer uma linha (mover uma unidade contrária a \overrightarrow{A B}). Visualmente, saindo de E e indo 2 passos para a direita e 1 passo para baixo chega-se a N, o que confirma o resultado.

Resposta

\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\end{pmatrix}]

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