Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}). \overrightarrow{E H}
Passo 1
O enunciado pede: determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{E H} em relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}).
Informações relevantes extraídas da figura (pegaram-se estes dados da imagem):
Os pontos estão dispostos numa malha regular de paralelogramos formando colunas e linhas.
Na direção de \overrightarrow{A F} (movimento “para a direita” na malha) há os pontos, da esquerda para a direita, A, F, H, J, D.
Na direção de \overrightarrow{A B} (movimento “para cima” na malha) há os pontos, de baixo para cima, A, K, B.
Na mesma coluna de F estão, de baixo para cima, F, L, E.
Na mesma coluna de H estão, de baixo para cima, H, M, G.
Esses posicionamentos permitem contar quantos passos em \overrightarrow{A F} e em \overrightarrow{A B} separam os pontos.
Passo 2
Conceito e método que vamos usar (aula rápida): qualquer vetor \vec{v} pode ser escrito como combinação linear da base (\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}); isto é, existe um par (x,y) tal que
As coordenadas de um ponto P na malha, tomando A como origem, são os inteiros que contam quantos passos em direção a \overrightarrow{A F} e a \overrightarrow{A B} levam de A a P. Para obter as coordenadas de um vetor entre dois pontos P e Q usamos
Atribuição das coordenadas (pegadas da imagem): marcar A como (0,0) na base (\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}).
Como há um passo em \overrightarrow{A F} de A até F e dois passos em \overrightarrow{A B} de A até B, os pontos ficam numa grade inteira. Contando colunas e linhas na figura obtemos:
F está uma coluna à direita de A e na mesma linha, logo F corresponde a \\ (1,0).
H está duas colunas à direita de A e na linha de baixo (mesma linha de A), logo H corresponde a \\ (2,0).
E está na coluna imediatamente à direita de A e duas linhas acima de A, logo E corresponde a \\ (1,2).
(Estas posições foram obtidas contando os paralelogramos na imagem.)
Passo 4
Calcular \overrightarrow{E H} como diferença de coordenadas:
Coordenadas de H: \\ (2,0).
Coordenadas de E: \\ (1,2).
Subtraindo componente a componente:
Interpretação didática: o resultado (1,-2) significa que, para ir de E a H, anda-se um passo na direção de \overrightarrow{A F} (para a direita) e dois passos na direção oposta de \overrightarrow{A B} (ou seja, para baixo na malha). Em forma de combinação linear: