Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}). \overrightarrow{0}
Passo 1
O que o enunciado pede:
Determinar as coordenadas dos vetores indicados com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}).
Neste item específico foi pedido a coordenada do vetor \overrightarrow{0} (o vetor nulo).
Informações dadas que vamos usar:
A base é \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}).
A imagem mostra os pontos A, F e B e os segmentos correspondentes, o que identifica geometricamente os vetores \overrightarrow{A F} e \overrightarrow{A B}.
Não é necessário conhecer medidas ou coordenadas numéricas das setas da figura para tratar o vetor nulo.
Passo 2
O que significa "coordenadas de um vetor em relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}"?
Por definição, dizer que (x,y) são as coordenadas do vetor \overrightarrow{v} na base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}) significa que existe uma combinação linear
Os escalares x e y expressam “quantas vezes” e em que sinal se somam as direções de \overrightarrow{A F} e \overrightarrow{A B} para obter \overrightarrow{v}.
Como \overrightarrow{A F} e \overrightarrow{A B} formam uma base (ou seja, são não-colineares), essa representação é única: para cada vetor \overrightarrow{v} existe um único par (x,y) que satisfaz a igualdade acima.
Passo 3
Aplicando a definição ao vetor nulo \overrightarrow{0}:
ou seja, a combinação com coeficientes nulos produz o vetor nulo. Portanto (x,y)=(0,0) é uma solução.
Pela unicidade da representação em função de uma base (porque \overrightarrow{A F} e \overrightarrow{A B} não são colineares), não existe outra solução. Uma maneira simples de ver isso é: se \overrightarrow{0}=x\overrightarrow{A F}+y\overrightarrow{A B} e x\neq 0, então \overrightarrow{A F}=-(y/x)\overrightarrow{A B}, o que faria \overrightarrow{A F} e \overrightarrow{A B} colineares, contradição. Logo x=0; análogo para y.
Passo 4
Interpretação geométrica curta (para fixar a ideia):
Geometricamente, o vetor nulo não tem direção nem comprimento; para formá-lo como soma de vetores numa base, é preciso cancelar exatamente toda contribuição nas duas direções da base. Isso só acontece quando os dois coeficientes são zero.
Em qualquer base de um plano (duas direções não-colineares) o vetor nulo tem sempre coordenadas (0,0).