Exercício 4.5.1. Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=\frac{x}{(x+y)^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=\frac{x}{(x+y)^{2}},
ou seja, precisamos calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}. Para isso vamos usar a regra do produto (ou do quociente) e a regra da cadeia, tratando a outra variável como constante.

Passo 2

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} escrevemos
f(x,y)=x\,(x+y)^{-2}.
Usando regra do produto, com u(x)=x e v(x)=(x+y)^{-2}, temos
u' = 1, \quad v' = -2\,(x+y)^{-3}\cdot 1
(pois \tfrac{d}{dx}(x+y)=1). Logo,
\frac{\partial f}{\partial x} = u'\,v + u\,v' = 1\cdot (x+y)^{-2} + x\cdot\bigl(-2\,(x+y)^{-3}\bigr).

Passo 3

Agora simplificamos
\frac{\partial f}{\partial x} = (x+y)^{-2} - 2x\,(x+y)^{-3} = \frac{1}{(x+y)^{2}} - \frac{2x}{(x+y)^{3}} = \frac{(x+y) - 2x}{(x+y)^{3}} = \frac{y - x}{(x+y)^{3}}.

Passo 4

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} tratamos x como constante em
f(x,y)=x\,(x+y)^{-2}.
Aplicando a regra da cadeia a (x+y)^{-2}, obtemos
\frac{\partial f}{\partial y} = x\cdot\bigl(-2\,(x+y)^{-3}\bigr)\cdot 1 = -\,\frac{2x}{(x+y)^{3}}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{y - x}{(x+y)^{3}}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = -\,\frac{2x}{(x+y)^{3}}.

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