Exercício 4.5.1. Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=\int_{y}^{x} \cos \left(e^{t}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=\int_{y}^{x}\cos\bigl(e^{t}\bigr)\,dt
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos aplicar esse teorema para diferenciar em relação a x (limite superior) e em relação a y (limite inferior).

Passo 2

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, tratamos y como constante e usamos que, se
F(x)=\int_{a}^{x}g(t)\,dt,
então \displaystyle F'(x)=g(x). Aqui g(t)=\cos\bigl(e^{t}\bigr). Logo,
\frac{\partial f}{\partial x} =\cos\bigl(e^{x}\bigr).

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, tratamos x como constante e lembramos que, se
H(y)=\int_{y}^{b}g(t)\,dt,
então \displaystyle H'(y)=-g(y). No nosso caso b=x e g(t)=\cos\bigl(e^{t}\bigr). Assim,
\frac{\partial f}{\partial y} =-\cos\bigl(e^{y}\bigr).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=\cos\bigl(e^{x}\bigr),
\frac{\partial f}{\partial y}=-\cos\bigl(e^{y}\bigr).

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