Exercício 4.4.3. Mostre que não existe os seguintes limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{y^{2}+2 x}{y^{2}-2 x};

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que não existe o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{y^{2}+2x}{y^{2}-2x}.
Este é um problema de limite em \mathbb{R}^2, então vamos usar o critério de que, se existisse limite, o valor teria de ser o mesmo para todas as curvas que se aproximam de (0,0). Para refutar a existência do limite, basta encontrar duas curvas de aproximação que produzam resultados diferentes.

Passo 2

Aproximando ao longo do eixo x, ou seja y=0. Substituindo na expressão:
f(x,0)=\frac{0+2x}{0-2x}=-1.
À medida que x\to0, o valor permanece -1.

Passo 3

Agora aproximamos pela curva y^{2}=x (com x\ge0), de modo que y\to0 quando x\to0. Substituindo x=y^{2}:
f(y^{2},y)=\frac{y^{2}+2y^{2}}{y^{2}-2y^{2}} =\frac{3y^{2}}{-y^{2}} =-3.
Quando y\to0, este valor permanece -3.

Passo 4

Tivemos dois valores de limite diferentes ( -1 e -3), então não há um único valor que a função assuma em todas as direções de aproximação.

Resposta

O limite não existe.

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