Exercício 9. Determine o deslocamento de uma membrana circular u(r, t) de raio unitário, definido por
& ut t=ur r+1r ur & u(1, t)=0 & u(r, 0)=1-r^2 & ut(r, 0)=0

Passo 1

O enunciado pede o deslocamento u(r,t) de uma membrana circular de raio unitário sujeita à equação da onda radial
utt=urr+1r,ur,
com contorno fixo u(1,t)=0 e condições iniciais
u(r,0)=1-r^2, ut(r,0)=0
O conteúdo envolvido é separação de variáveis na equação da onda em coordenadas polares e o uso das funções de Bessel de ordem zero.

Passo 2

Procuramos solução por separação de variáveis
u(r,t)=R(r),T(t)
Substituindo na PDE e dividindo por R,T obtemos
T''(t)T(t)=R''(r)+tfrac1rR'(r)R(r)=-lambda,
onde lambda é constante de separação. Então
T''+lambda T=0,
R''+1rR'+lambda R=0
A equação radial é a equação de Bessel de ordem zero, cujas soluções regulares são J0(raizlambda,r).

Passo 3

A condição de contorno u(1,t)=0 implica
R(1)=J0(raizlambda)=0,
isto é, raizlambda=kn deve ser um zero de J0. Denotamos por j0,n o n-ésimo zero de J0. Então
lambdan=j0,n^2, Rn(r)=J0(j0,nr),
e
Tn(t)=Ancos(j0,nt)+Bnsin(j0,nt)
Como a condição inicial de velocidade é ut(r,0)=0, teremos Bn=0.

Passo 4

A solução geral é portanto
u(r,t)=sumn=1^inftyAn,J0l(j0,nrr),cosl(j0,ntr)
Para determinar An usamos u(r,0)=1-r^2 e a ortogonalidade
integral0^1r,J0(j0,mr),J0(j0,nr),dr =de<amn2l[J1(j0,n)r]^2
Multiplicando 1-r^2=sum AnJ0(j0,nr) por rJ0(j0,mr) e integrando de 0 a 1, obtemos
integral0^1r(1-r^2)J0(j0,mr),dr =Am2l[J1(j0,m)r]^2
Logo
Am=2[J1(j0,m)]^2, integral0^1r(1-r^2)J0(j0,mr),dr

Passo 5

Calculamos o integral em duas partes:
I1=integral0^1r,J0(k r),dr=J1(k)k, I2=integral0^1r^3J0(k r),dr=2,J2(k)k^2
Para k=j0,m, como J0(k)=0, vale J2(k)=tfrac2kJ1(k). Assim
integral0^1r(1-r^2)J0(k r),dr =I1-I2 =J1(k)k-2,(2J1(k)/k)k^2 =J1(k)l(k^2-4r)k^3
Portanto
Am =2[J1(j0,m)]^2, J1(j0,m)l(j0,m^2-4r)j0,m^3 =2l(j0,m^2-4r)j0,m^3,J1(j0,m)

Passo 6

Reescrevendo a solução completa, obtemos
u(r,t) =sumn=1^infty 2l(j0,n^2-4r)j0,n^3,J1(j0,n), J0!l(j0,nrr), cos!l(j0,ntr),
onde j0,n é o n-ésimo zero de J0.

Resposta

com sendo os zeros de .

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