Exercício 9. Determine o deslocamento de uma membrana circular
de raio unitário, definido por
Passo 1
O enunciado pede o deslocamento
de uma membrana circular de raio unitário sujeita à equação da onda radial
com contorno fixo
e condições iniciais
O conteúdo envolvido é separação de variáveis na equação da onda em coordenadas polares e o uso das funções de Bessel de ordem zero.
Passo 2
Procuramos solução por separação de variáveis
Substituindo na PDE e dividindo por
obtemos
onde
é constante de separação. Então
A equação radial é a equação de Bessel de ordem zero, cujas soluções regulares são
.
Passo 3
A condição de contorno
implica
isto é,
deve ser um zero de
. Denotamos por
o
-ésimo zero de
. Então
e
Como a condição inicial de velocidade é
, teremos
.
Passo 4
A solução geral é portanto
Para determinar
usamos
e a ortogonalidade
Multiplicando
por
e integrando de 0 a 1, obtemos
Logo
Passo 5
Calculamos o integral em duas partes:
Para
, como
, vale
. Assim
Portanto
Passo 6
Reescrevendo a solução completa, obtemos
onde
é o
-ésimo zero de
.
Resposta
com
sendo os zeros de
.