5. Mostre que existe um número real c que é solução da equação x^2-1000=10 cos x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que existe um número real c que satisfaz
c^2 - 1000 = 10cos c
Isso é um problema de existência de solução para uma equação não-linear. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função contínua muda de sinal num intervalo, então ela zera nesse intervalo.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = x^2 - 1000 ;-; 10cos x
Como x^2 e cos x são funções contínuas em R, segue que f(x) também é contínua.

Passo 3

Vamos encontrar dois pontos a e b tais que f(a) e f(b) tenham sinais opostos.
Para x=31:
f(31) = 31^2 - 1000 - 10cos(31) = 961 - 1000 - 10cos(31) <= 961 - 1000 + 10 = -29 < 0
Para x=32:
f(32) = 32^2 - 1000 - 10cos(32) = 1024 - 1000 - 10cos(32) >= 1024 - 1000 - 10 = 14 > 0

Passo 4

Como f é contínua em [31,32] e f(31)<0< f(32), pelo Teorema do Valor Intermediário existe cin(31,32) tal que
f(c)=0
Isto é,
c^2 - 1000 = 10cos c

Resposta

Existe de fato uma solução cin(31,32) da equação x^2-1000=10cos x.

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