5. Mostre que existe um número real
que é solução da equação
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que existe um número real
que satisfaz
Isso é um problema de existência de solução para uma equação não-linear. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função contínua muda de sinal num intervalo, então ela zera nesse intervalo.
Passo 2
Definimos a função
Como
e
são funções contínuas em
, segue que
também é contínua.
Passo 3
Vamos encontrar dois pontos
e
tais que
e
tenham sinais opostos.
Para :
Para
Para
:
Passo 4
Como
é contínua em
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe
tal que
Isto é,
Resposta
Existe de fato uma solução
da equação
.