Calcule os limites a seguir, se existirem, ou justifique a não existência.
(a) lim x 2 e^x-2x-2
(b) lim x infty sen^2(ln x)x
(c) lim x -infty(x+raizx^2-4 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular três limites envolvendo funções elementares de exponencial, seno e radicais. O conteúdo utilizado será análise de comportamento assintótico, teorema do confronto (squeeze theorem) e expansão ou “racionalização” para radicais em limites infinitos.

Passo 2

Analisando
limxto 2 e^x-2x-2,
observamos que ,e^x-2to e^0=1 e x-2to 0. Logo o numerador tende a 1 e o denominador a 0, de modo que a fração diverge. Ao aproximar por x>2, x-2>0 e o quociente vai a +infty; ao aproximar por x<2, x-2<0 e vai a -infty. Portanto não existe limite finito nem único na forma infinita.

Passo 3

Analisando
limxtoinfty sen^2(ln x)x,
temos 0<= sen^2(ln x)<= 1 para todo x>0. Aplicando o teorema do confronto,
0 <= sen^2(ln x)x <= 1x,
e como limxtoinfty1/x=0, segue que
limxtoinfty sen^2(ln x)x = 0

Passo 4

Analisando
limxto -infty l(x + raizx^2 - 4xr),
escrevemos raizx^2 -4x = |x|raiz1 - 4/x. Para xto -infty, |x|=-x, então
x + raizx^2 -4x = x - xraiz1 - tfrac4x = xl(1 - raiz1 - tfrac4xr)
Para xto -infty, tfrac4xto0 e usamos a expansão
raiz1 - tfrac4x approx 1 - 2x,
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1 - raiz1 - tfrac4x approx 2x,
e
xl(1 - raiz1 - tfrac4xr) approx xcdot2x=2
Assim
limxto -infty l(x + raizx^2 - 4xr) = 2

Resposta

(a) Não existe (diverge para +infty pela direita e para -infty pela esquerda).
(b) 0.
(c) 2.

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