Exercício 4.5. Seja V o espaço vetorial sobre \mathbb{C} (números complexos). Qual a dimensão de \mathbb{C}^{2} considerado como espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R} ? Apresente uma base.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras sobre \mathbb{C}^{2} quando ele é visto como espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R}:
  • Qual é a dimensão de \mathbb{C}^{2} considerada como espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
  • Apresentar uma base (ou seja, um conjunto de vetores em \mathbb{C}^{2} que gere todo o espaço e seja linearmente independente) para \mathbb{C}^{2} sobre \mathbb{R}.
Informações dadas que vamos usar:
  • O conjunto considerado é \mathbb{C}^{2}=\{(z,w)\mid z,w\in\mathbb{C}\}.
  • O corpo de escalares agora é \mathbb{R} (ou seja, só são permitidos coeficientes reais nas combinações lineares).

Passo 2

Entendimento básico e ideia-chave (passo-a-passo): cada número complexo \,z\in\mathbb{C}\, pode ser escrito como
z=a+bi
com a,b\in\mathbb{R}. Isso significa que, visto como espaço vetorial sobre \mathbb{R}, o conjunto \mathbb{C} é gerado por 1 e i. Vou mostrar que \{1,i\} é base de \mathbb{C} sobre \mathbb{R}.
Prova curta de que \{1,i\} gera \mathbb{C}: dado z=a+bi, tem-se
z = a\cdot 1 + b\cdot i,
com a,b\in\mathbb{R}. Logo \{1,i\} gera.
Prova de independência linear sobre \mathbb{R}: se r,s\in\mathbb{R} e
r\cdot 1 + s\cdot i = 0\\ (\text{em }\mathbb{C}),
então r+si=0 implica r=0 e s=0 (porque partes real e imaginária são zero). Assim \{1,i\} é linearmente independente sobre \mathbb{R}.
Conclusão intermediária: \mathbb{C} tem dimensão 2 como espaço sobre \mathbb{R}, com base \{1,i\}.

Passo 3

Relacionando isso com \mathbb{C}^{2}: \mathbb{C}^{2} é (como espaço vetorial sobre \mathbb{R}) a soma direta de duas cópias de \mathbb{C}. Intuitivamente, cada coordenada complexa traz duas dimensões reais. Portanto a dimensão esperada é 2 (dimensão de \mathbb{C} sobre \mathbb{R}) vezes 2 (número de coordenadas) dando 4. Vou construir explicitamente uma base com quatro vetores.
Defina os vetores em \mathbb{C}^{2}:
e_{1}=(1,0),\qquad e_{2}=(i,0),\qquad e_{3}=(0,1),\qquad e_{4}=(0,i).
Aqui cada par (\cdot,\cdot) tem entradas em \mathbb{C}, e consideramos combinações lineares com coeficientes em \mathbb{R}.

Passo 4

Mostrar que \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\} gera \mathbb{C}^{2}.
Tomemos um vetor arbitrário (z,w)\in\mathbb{C}^{2}. Escreva
z=a+bi,\qquad w=c+di
com a,b,c,d\in\mathbb{R}. Então
(z,w) = a\,(1,0) + b\,(i,0) + c\,(0,1) + d\,(0,i) = a e_{1} + b e_{2} + c e_{3} + d e_{4}.
Os coeficientes a,b,c,d são reais, logo (z,w) é combinação linear real de e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}. Logo o conjunto gera \mathbb{C}^{2}.

Passo 5

Mostrar que \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\} é linearmente independente sobre \mathbb{R}.
Suponha que existam reais r_{1},r_{2},r_{3},r_{4} tais que
r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}+r_{3}e_{3}+r_{4}e_{4}=(0,0).
Isso equivale a
(r_{1}+r_{2}i,\; r_{3}+r_{4}i) = (0,0).
Como igualdade de pares complexos, tem-se as duas igualdades em \mathbb{C}:
r_{1}+r_{2}i = 0,\qquad r_{3}+r_{4}i = 0.
Cada uma dessas igualdades força r_{1}=r_{2}=0 e r_{3}=r_{4}=0 (se uma combinação real de 1 e i é zero então os coeficientes reais são zero). Portanto todos os r_{j} são zero, mostrando independência linear.

Passo 6

Como o conjunto \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\} gera \mathbb{C}^{2} e é linearmente independente, ele é uma base de \mathbb{C}^{2} sobre \mathbb{R}. O número de vetores na base é 4, portanto a dimensão de \mathbb{C}^{2} sobre \mathbb{R} é 4.
Comentário amigo: em linguagem prática, cada coordenada complexa dá duas coordenadas reais (parte real e imaginária), então \mathbb{C}^{2} corresponde a \mathbb{R}^{4} quando visto como espaço sobre \mathbb{R}. Isso é útil na prova: pensar (a+bi,c+di)\leftrightarrow (a,b,c,d).

Resposta

Dimensão: 4
Base: \{(1,0),\,(i,0),\,(0,1),\,(0,i)\}

Exercícios relacionados