Exercício 4.5. Seja
o espaço vetorial sobre
(números complexos). Qual a dimensão de
considerado como espaço vetorial sobre o corpo
? Apresente uma base.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras sobre
quando ele é visto como espaço vetorial sobre o corpo
:
- Qual é a dimensão de
considerada como espaço vetorial sobre . - Apresentar uma base (ou seja, um conjunto de vetores em
que gere todo o espaço e seja linearmente independente) para sobre .
Informações dadas que vamos usar:
- O conjunto considerado é
. - O corpo de escalares agora é
(ou seja, só são permitidos coeficientes reais nas combinações lineares).
Passo 2
Entendimento básico e ideia-chave (passo-a-passo): cada número complexo
pode ser escrito como
com
. Isso significa que, visto como espaço vetorial sobre
, o conjunto
é gerado por
e
. Vou mostrar que
é base de
sobre
.
Prova curta de que
gera
: dado
, tem-se
com
. Logo
gera.
Prova de independência linear sobre
: se
e
então
implica
e
(porque partes real e imaginária são zero). Assim
é linearmente independente sobre
.
Conclusão intermediária:
tem dimensão
como espaço sobre
, com base
.
Passo 3
Relacionando isso com
:
é (como espaço vetorial sobre
) a soma direta de duas cópias de
. Intuitivamente, cada coordenada complexa traz duas dimensões reais. Portanto a dimensão esperada é
(dimensão de
sobre
) vezes
(número de coordenadas) dando
. Vou construir explicitamente uma base com quatro vetores.
Defina os vetores em
:
Aqui cada par
tem entradas em
, e consideramos combinações lineares com coeficientes em
.
Passo 4
Mostrar que
gera
.
Tomemos um vetor arbitrário
. Escreva
com
. Então
Os coeficientes
são reais, logo
é combinação linear real de
. Logo o conjunto gera
.
Passo 5
Mostrar que
é linearmente independente sobre
.
Suponha que existam reais
tais que
Isso equivale a
Como igualdade de pares complexos, tem-se as duas igualdades em
:
Cada uma dessas igualdades força
e
(se uma combinação real de
e
é zero então os coeficientes reais são zero). Portanto todos os
são zero, mostrando independência linear.
Passo 6
Como o conjunto
gera
e é linearmente independente, ele é uma base de
sobre
. O número de vetores na base é
, portanto a dimensão de
sobre
é
.
Comentário amigo: em linguagem prática, cada coordenada complexa dá duas coordenadas reais (parte real e imaginária), então
corresponde a
quando visto como espaço sobre
. Isso é útil na prova: pensar
.
Resposta
Dimensão:
Base: