Exercício 1.9 Determine o dominio das seguintes funções e represéntelo gráficamente:
(a) f(x, y)=\ln (x-y-2).
(b) f(x, y)=x e^{y}-\frac{1}{x}.
(c) f(u, t)=\frac{u-1}{\ln (u-t)}.
(d) f(x, y)=\frac{x y-1}{2 x-y}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio (conjunto de pontos em \mathbb{R}^2) de quatro funções de duas variáveis e descrever graficamente cada domínio. Vamos usar as condições de existência de logaritmo \ln, exponencial, divisão por zero e propriedades de funções de várias variáveis.

Passo 2

Para
f(x,y)=\ln(x-y-2)
é preciso que o argumento do logaritmo seja estritamente positivo:
x - y - 2 > 0.
Logo
\mathrm{dom}(f) =\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x - y > 2\}.
Graficamente, é o semi-plano abaixo da reta y = x-2 (excluindo a própria reta).

Passo 3

Para
f(x,y)=x e^y - \frac{1}{x}
devemos ter x\neq0 (para não dividir por zero); e^y existe para todo real. Assim
\mathrm{dom}(f) =\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\neq0\}.
Graficamente, são os dois semi-planos x>0 e x<0, sem a reta vertical x=0.

Passo 4

Para
f(u,t)=\frac{u-1}{\ln(u-t)}
é preciso que
  1. o logaritmo exista: u - t>0,
  2. o denominador não seja zero: \ln(u-t)\neq0, isto é u-t\neq1.
    Logo
\mathrm{dom}(f) =\{(u,t)\in\mathbb{R}^2\mid u>t,\\ u-t\neq1\}.
Graficamente, é o semi-plano acima da reta u=t, com a reta paralela u=t+1 removida.

Passo 5

Para
f(x,y)=\frac{x\,y-1}{2x-y}
basta garantir que o denominador seja não nulo:
2x - y \neq 0.
Portanto
\mathrm{dom}(f) =\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y\neq2x\}.
Graficamente, é todo o plano exceto a reta y=2x.

Resposta

(a) \mathrm{dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x-y>2\}, semi-plano abaixo de y=x-2.
(b) \mathrm{dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\neq0\}, plano sem a reta x=0.
(c) \mathrm{dom}(f)=\{(u,t)\in\mathbb{R}^2\mid u>t,\\ u-t\neq1\}, semi-plano acima de u=t sem a reta u=t+1.
(d) \mathrm{dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y\neq2x\}, plano sem a reta y=2x.

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