Exercício 1.10 Determine e faça o esboço do domínio da função.
(a) f(x, y)=\ln \left(9-x^{2}-9 y^{2}\right)
(b) f(x, y)=\sqrt{y-x} \ln (x+y)
(c) f(x, y)=\frac{x-3 y}{x+3 y}
(d) f(x, y, z)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}
(e) f(x, y, z)=\ln \left(16-4 x^{2}-4 y^{2}-z^{2}\right)

Passo 1

Estamos determinando o domínio de várias funções de duas ou três variáveis usando as condições básicas: o argumento de \ln deve ser positivo, o de \sqrt{\cdot} deve ser não‐negativo e o denominador não pode ser zero. Para cada item, expressamos o conjunto de pontos que satisfaz essas restrições e descrevemos geometricamente.

Passo 2

Para
f(x,y)=\ln\bigl(9 - x^2 - 9y^2\bigr)
precisamos de
9 - x^2 - 9y^2 > 0
ou seja
x^2 + 9y^2 < 9.
Esse é o interior do elipse centrado em (0,0) com semi‐eixos de comprimentos 3 em x e 1 em y.

Passo 3

Para
f(x,y)=\sqrt{y - x}\,\ln(x+y)
temos duas condições simultâneas:
  1. y - x \ge 0, isto é, y \ge x.
  2. x + y > 0.
    O domínio é a interseção dessas duas metades de plano:
\{(x,y)\mid y \ge x\}\;\cap\;\{(x,y)\mid x+y>0\}.

Passo 4

Para
f(x,y)=\frac{x - 3y}{x + 3y}
só precisamos evitar denominador zero:
x + 3y \neq 0.
O domínio é todo \mathbb{R}^2 menos a reta x+3y=0.

Passo 5

Para
f(x,y,z)=\sqrt{1 - x^2 - y^2 - z^2}
exigimos
1 - x^2 - y^2 - z^2 \ge 0,
ou seja
x^2 + y^2 + z^2 \le 1.
É a bola sólida (fechada) de raio 1 em \mathbb{R}^3.

Passo 6

Para
f(x,y,z)=\ln\bigl(16 - 4x^2 - 4y^2 - z^2\bigr)
precisamos de
16 - 4x^2 - 4y^2 - z^2 > 0 \nequivalente a
4x^2 + 4y^2 + z^2 < 16 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4} + \frac{z^2}{16} < 1.
É o interior de um elipsoide centrado na origem, com semi‐eixos 2,2,4.

Resposta

(a) \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2 + 9y^2 < 9\}, interior de um elipse de semi‐eixos 3 e 1.
(b) \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y\ge x,\;x+y>0\}, interseção das metades de plano y\ge x e x+y>0.
(c) \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x+3y\neq 0\}, todo o plano menos a reta x+3y=0.
(d) \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x^2+y^2+z^2\le1\}, a bola sólida de raio 1.
(e) \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid \tfrac{x^2}{4}+\tfrac{y^2}{4}+\tfrac{z^2}{16}<1\}, interior de um elipsoide com semi‐eixos 2,2,4.

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