Exercício 1.11 Esboce o gráfico da função.
(e) f(x, y)=x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função \,f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} dada por
f(x,y)=x.
O conteúdo aqui é desenho de superfícies em \mathbb{R}^3. Para isso, vamos usar cortes da superfície por planos paralelos aos eixos e perceber que tipo de curva cada corte gera.

Passo 2

Observe que \,z=f(x,y)=x é independente de y. Isso significa que se fixarmos y=y_0 qualquer, o ponto (x,y_0,z) satisfaz z=x, ou seja, em todo plano y=y_0 a interseção da superfície com esse plano é a reta de equação z=x no plano x\!z.

Passo 3

Para visualizar melhor, considere o plano y=0. Nesse plano temos z=x, que é a reta que faz 45^\circ com os eixos x e z. Agora, para cada valor fixo y=y_0, aparece uma reta idêntica deslocada paralelamente ao eixo y.

Passo 4

Se agora fixarmos x=x_0, então z=x_0 é constante, e a interseção com o plano vertical x=x_0 é uma reta paralela ao eixo y situada na altura z=x_0.

Passo 5

Juntando todas essas retas (para todo x e todo y), obtemos um plano no espaço com equação
z = x.
Esse plano é paralelo ao eixo y e inclinado de 45^\circ em relação ao plano x\,o\,y.

Resposta

O gráfico de f(x,y)=x é o plano de equação z=x, que passa pela reta z=x, y=0 e se estende paralelamente ao eixo y, formando uma superfície plana inclinada a 45\circ em relação ao plano xoy.

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