Exercício 4.1.1. Determine se a equação é exata. Em caso afirmativo, encontre a solução:
(5 x+1)+(4 y-3) y^{\prime}=0

Passo 1

Vamos reescrever a equação
(5x+1)+(4y-3)\,y'=0
no formato diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y)=5x+1, \quad N(x,y)=4y-3.
O conteúdo é verificação de exatidão pela condição \partial M/\partial y = \partial N/\partial x
e, se for exata, achar uma função potencial \psi(x,y) tal que
d\psi = M\,dx + N\,dy.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(5x+1) = 0, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(4y-3) = 0.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x,
a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} = M(x,y) = 5x+1.
Integramos em x:
\psi(x,y) = \int(5x+1)\,dx = \frac{5}{2}x^2 + x + h(y),
onde h(y) é função anônima de y.

Passo 4

Agora exigimos
\frac{\partial \psi}{\partial y} = N(x,y) = 4y - 3.
Como \partial \psi/\partial y = h'(y), temos
h'(y) = 4y - 3 \quad\Longrightarrow\quad h(y) = \int(4y-3)\,dy = 2y^2 - 3y.

Passo 5

Substituindo h(y) em \psi, obtemos a solução implícita
\psi(x,y) = \frac{5}{2}x^2 + x + 2y^2 - 3y = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

\frac{5}{2}x^2 + x + 2y^2 - 3y = C.

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