Calcule \iint(\mathrm{x}+\mathrm{y}) \mathrm{dA} na região \mathrm{R}=[0,1] \times[0,1]. *
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Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}(x+y)\,dA
onde R=[0,1]\times[0,1].
O conteúdo usado será integrais duplas em regiões retangulares e a linearidade da integral.

Passo 2

Escrevemos a integral dupla como iterada, por exemplo integrando primeiro em x e depois em y:
\iint_{R}(x+y)\,dA =\int_{y=0}^{1}\Bigl(\int_{x=0}^{1}(x+y)\,dx\Bigr)dy.

Passo 3

Pela linearidade da integral interna, separamos em duas integrais:
\int_{x=0}^{1}(x+y)\,dx =\int_{x=0}^{1}x\,dx \;+\;\int_{x=0}^{1}y\,dx.

Passo 4

Calculamos cada uma:
\int_{x=0}^{1}x\,dx =\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1} =\frac{1}{2},
\int_{x=0}^{1}y\,dx =y\int_{0}^{1}dx =y\cdot1 =y.
Logo
\int_{x=0}^{1}(x+y)\,dx =\frac{1}{2}+y.

Passo 5

Agora integramos em y:
\int_{y=0}^{1}\Bigl(\tfrac12+y\Bigr)dy =\left[\frac{1}{2}y+\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{2}+\frac{1}{2} =1.
O valor da integral dupla é 1, mas nenhuma das opções fornecidas \tfrac{3}{2} ou \tfrac{1}{2} coincide com esse resultado.

Resposta

Nenhuma das alternativas está correta, pois o valor exato da integral é 1.

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