Exercício 3. Determine a função inversa de
.
Hint: Escreva
e isole
.
Hint: Escreva
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para determinar a função inversa
. Informações importantes extraídas do enunciado:
- A função é linear e está definida para todo
(não há restrição no enunciado). - A questão pede explicitamente a função inversa, isto é, a regra que, aplicada ao valor
, devolve o original.
O hint diz: escrevae isole . Isso é exatamente o procedimento que vamos usar.
Passo 2
Conceito rápido e intuitivo (sem jargão chato): a função inversa troca entrada por saída. Se
, então a inversa
deve devolver
quando recebe
:
. Para achar a fórmula da inversa para funções algébricas, o procedimento padrão é:
- escrever
; - isolar
em função de ; - trocar os nomes
para escrever a regra da inversa como .
Por que isso funciona? Porque ao isolar
em termos de
estamos expressando "o
que gerou um dado
". Trocar nomes só torna a expressão pronta para ser usada: a variável de entrada da inversa passa a chamar-se
.
Observação prática: funções lineares com coeficiente angular diferente de zero (aqui a função é
, coeficiente
) são bijetoras
, então têm inversa definida em todo
.
Passo 3
Agora execute o passo indicado pelo hint: escreva
e isole
.
Começando por
multiplica-se ambos os lados por
(operações válidas pois multiplicar por número diferente de zero preserva a igualdade):
Agora somar
aos dois lados:
Por fim, dividir ambos os lados por
:
Essa igualdade diz, em palavras, que o
que gerou o
é
. Para escrever a inversa na forma convencional, trocamos os nomes
e
: assim obtemos a regra da inversa.
Passo 4
Trocando
por
na expressão anterior, a função inversa (regra que toma um número e devolve o antecessor na função
) é
Vamos verificar rapidamente que isso está correto fazendo a composição (checar é sempre bom e dá confiança para a prova):
- Composição
:
Simplificando o numerador:
então
Logo
.
- Composição
:
Simplificando:
então
Logo
.
As duas composições retornam
, confirmando que a função encontrada é de fato a inversa.
Passo 5
Domínio e contradomínio (nota rápida): como
é uma reta com coeficiente angular
, seu domínio e imagem são ambos
. Portanto
também está definida em todo
.