Exercício 3. Determine a função inversa de f(x)=\frac{2 x-1}{3}.
Hint: Escreva y=\frac{2 x-1}{3} e isole x.

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=\frac{2x-1}{3},
e pede para determinar a função inversa f^{-1}. Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A função é linear e está definida para todo x\in\mathbb{R} (não há restrição no enunciado).
  • A questão pede explicitamente a função inversa, isto é, a regra que, aplicada ao valor y=f(x), devolve o x original.
    O hint diz: escreva y=\frac{2x-1}{3} e isole x. Isso é exatamente o procedimento que vamos usar.

Passo 2

Conceito rápido e intuitivo (sem jargão chato): a função inversa troca entrada por saída. Se y=f(x), então a inversa f^{-1} deve devolver x quando recebe y: f^{-1}(y)=x. Para achar a fórmula da inversa para funções algébricas, o procedimento padrão é:
  1. escrever y=f(x);
  2. isolar x em função de y;
  3. trocar os nomes x\leftrightarrow y para escrever a regra da inversa como f^{-1}(x)=\dots.
Por que isso funciona? Porque ao isolar x em termos de y estamos expressando "o x que gerou um dado y". Trocar nomes só torna a expressão pronta para ser usada: a variável de entrada da inversa passa a chamar-se x.
Observação prática: funções lineares com coeficiente angular diferente de zero (aqui a função é \frac{2}{3}x-\frac{1}{3}, coeficiente \frac{2}{3}\neq0) são bijetoras \mathbb{R}\to\mathbb{R}, então têm inversa definida em todo \mathbb{R}.

Passo 3

Agora execute o passo indicado pelo hint: escreva y=\dfrac{2x-1}{3} e isole x.
Começando por
y=\frac{2x-1}{3},
multiplica-se ambos os lados por 3 (operações válidas pois multiplicar por número diferente de zero preserva a igualdade):
3y=2x-1.
Agora somar 1 aos dois lados:
3y+1=2x.
Por fim, dividir ambos os lados por 2:
x=\frac{3y+1}{2}.
Essa igualdade diz, em palavras, que o x que gerou o y é \dfrac{3y+1}{2}. Para escrever a inversa na forma convencional, trocamos os nomes x e y: assim obtemos a regra da inversa.

Passo 4

Trocando y por x na expressão anterior, a função inversa (regra que toma um número e devolve o antecessor na função f) é
f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{2}.
Vamos verificar rapidamente que isso está correto fazendo a composição (checar é sempre bom e dá confiança para a prova):
  1. Composição f\big(f^{-1}(x)\big):
f\big(f^{-1}(x)\big)=\frac{2\cdot\big(\dfrac{3x+1}{2}\big)-1}{3}.
Simplificando o numerador:
2\cdot\frac{3x+1}{2}=3x+1,
então
\frac{3x+1-1}{3}=\frac{3x}{3}=x.
Logo f(f^{-1}(x))=x.
  1. Composição f^{-1}\big(f(x)\big):
f^{-1}\big(f(x)\big)=\frac{3\cdot\big(\dfrac{2x-1}{3}\big)+1}{2}.
Simplificando:
3\cdot\frac{2x-1}{3}=2x-1,
então
\frac{2x-1+1}{2}=\frac{2x}{2}=x.
Logo f^{-1}(f(x))=x.
As duas composições retornam x, confirmando que a função encontrada é de fato a inversa.

Passo 5

Domínio e contradomínio (nota rápida): como f é uma reta com coeficiente angular \frac{2}{3}\neq0, seu domínio e imagem são ambos \mathbb{R}. Portanto f^{-1} também está definida em todo \mathbb{R}.

Resposta

f^{-1}(x)=\dfrac{3x+1}{2}

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