Exercício 2. Considere
definida em
.
- A função é injetiva?
- Existe função inversa em
?
- Restrinja o domínio para torná-la invertível.
Hint: Existe mais de um valor de
com mesma imagem?
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
. Perguntas:
- A função é injetiva?
- Existe função inversa em
? - Restrinja o domínio para torná-la invertível.
Informações importantes fornecidas:
- Domínio atual:
. - Regra:
. - Dica: procurar se existe mais de um valor de
com a mesma imagem.
Passo 2
O que significa “injetiva” (mini-aula): uma função
é injetiva se, sempre que
, então necessariamente
. Em palavras: valores distintos no domínio não podem ter a mesma imagem.
Testando injetividade para
: basta encontrar dois
diferentes com a mesma imagem para concluir que não é injetiva. Observe que
e
Aqui
mas
. Portanto a condição da definição de injetividade falha e concluímos que
NÃO é injetiva em
.
Passo 3
O que é necessário para existir uma função inversa (mini-aula): para que exista uma função inversa
definida sobre todo o codomínio escolhido, a função
deve ser bijetora — isto é, injetiva e sobrejetiva (surgectiva). Injetividade garante unicidade da pré-imagem; sobrejetividade garante que cada valor do codomínio tenha alguma pré-imagem.
Aplicando ao caso dado:
- Já vimos que
NÃO é injetiva em , logo não pode ter inversa definida como função de para . - Além disso, a imagem de
(o conjunto de valores que assume) é , porque para todo . Assim também NÃO é sobrejetiva como aplicação (por exemplo, nenhum satisfaz ). Logo existe mais de um motivo para não haver inversa em : falta injetividade e falta sobrejetividade em relação ao codomínio .
Passo 4
Resolver a equação
para achar uma possível inversa (mini-aula de manipulação algébrica): para achar a pré-imagem de um valor
temos de resolver
Tomando raiz quadrada,
Isso mostra que, para um
, existem duas soluções
(uma positiva e uma negativa). Uma “função inversa” só poderia atribuir um único valor de
para cada
. A presença das duas soluções
evidencia a necessidade de escolher apenas uma das ramificações (escolher sinais) — ou seja, restringir o domínio — para ter unicidade.
Passo 5
Como restringir o domínio para tornar
invertível (ideia e justificativa): devemos eliminar a ambiguidade entre
e
. Duas escolhas naturais e comuns são:
- restringir o domínio para
, ficando com ; - ou restringir o domínio para
, ficando com .
Vou mostrar por que cada uma dessas restrições torna a função injetiva.
Prova de injetividade em
: suponha
e
. Como ambos são não-negativos, podemos tirar raiz quadrada preservando igualdade e obter
. Logo
é injetiva em
. (Outra observação:
em
, estritamente positivo para
, então
é monótona crescente em
, o que também implica injetividade.)
Prova de injetividade em
: suponha
e
. Como ambos são não-positivos, tomar raiz com sinal negativo dá
. Também aqui
é monótona decrescente em
, garantindo injetividade.
Em ambas as restrições a imagem é
, então, como função para esse codomínio,
torna-se bijetora e, portanto, tem inversa.
Passo 6
Fórmulas explícitas das inversas (mini-aula de interpretação): para cada restrição a inversa é uma única ramificação da raiz quadrada.
- Se
com , então a inversa é
Aqui o símbolo
denota a raiz quadrada não-negativa, compatível com o domínio escolhido.
- Se
com , então a inversa é
Aqui escolhe-se a ramificação negativa para corresponder à porção negativa do domínio.
Passo 7
Dicas para a prova (curto e prático):
- Para testar injetividade rápido, experimente
e : para funções pares como isso quase sempre revela falta de injetividade. - Para obter a inversa de
, escreva e resolva para ; se aparecer então é preciso restringir o domínio para ficar com apenas um sinal. - A restrição mais usada é
porque dá a inversa , que é familiar e simples de usar.
Resposta
- Não.
- Não.
- Restringir o domínio para
(inversa , ) ou alternativamente para (inversa , ).