Exercício 2. Considere f(x)=x^{2} definida em \mathbb{R}.
  1. A função é injetiva?
  2. Existe função inversa em \mathbb{R} ?
  3. Restrinja o domínio para torná-la invertível.
Hint: Existe mais de um valor de x com mesma imagem?

Passo 1

O enunciado dá a função f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=x^{2}. Perguntas:
  1. A função é injetiva?
  2. Existe função inversa em \mathbb{R}?
  3. Restrinja o domínio para torná-la invertível.
Informações importantes fornecidas:
  • Domínio atual: \mathbb{R}.
  • Regra: f(x)=x^{2}.
  • Dica: procurar se existe mais de um valor de x com a mesma imagem.

Passo 2

O que significa “injetiva” (mini-aula): uma função f\colon A\to B é injetiva se, sempre que f(x_{1})=f(x_{2}), então necessariamente x_{1}=x_{2}. Em palavras: valores distintos no domínio não podem ter a mesma imagem.
Testando injetividade para f(x)=x^{2}: basta encontrar dois x diferentes com a mesma imagem para concluir que não é injetiva. Observe que
f(1)=1^{2}=1
e
f(-1)=(-1)^{2}=1.
Aqui 1\neq -1 mas f(1)=f(-1). Portanto a condição da definição de injetividade falha e concluímos que f NÃO é injetiva em \mathbb{R}.

Passo 3

O que é necessário para existir uma função inversa (mini-aula): para que exista uma função inversa f^{-1} definida sobre todo o codomínio escolhido, a função f deve ser bijetora — isto é, injetiva e sobrejetiva (surgectiva). Injetividade garante unicidade da pré-imagem; sobrejetividade garante que cada valor do codomínio tenha alguma pré-imagem.
Aplicando ao caso dado:
  • Já vimos que f NÃO é injetiva em \mathbb{R}, logo não pode ter inversa definida como função de \mathbb{R} para \mathbb{R}.
  • Além disso, a imagem de f (o conjunto de valores que f assume) é [0,\infty), porque x^{2}\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}. Assim f também NÃO é sobrejetiva como aplicação \mathbb{R}\to\mathbb{R} (por exemplo, nenhum x satisfaz x^{2}=-1). Logo existe mais de um motivo para não haver inversa em \mathbb{R}: falta injetividade e falta sobrejetividade em relação ao codomínio \mathbb{R}.

Passo 4

Resolver a equação y=x^{2} para achar uma possível inversa (mini-aula de manipulação algébrica): para achar a pré-imagem de um valor y temos de resolver
y=x^{2}.
Tomando raiz quadrada,
x=\pm\sqrt{y}.
Isso mostra que, para um y>0, existem duas soluções x (uma positiva e uma negativa). Uma “função inversa” só poderia atribuir um único valor de x para cada y. A presença das duas soluções \pm\sqrt{y} evidencia a necessidade de escolher apenas uma das ramificações (escolher sinais) — ou seja, restringir o domínio — para ter unicidade.

Passo 5

Como restringir o domínio para tornar f invertível (ideia e justificativa): devemos eliminar a ambiguidade entre x e -x. Duas escolhas naturais e comuns são:
  • restringir o domínio para [0,\infty), ficando f\colon [0,\infty)\to[0,\infty) com f(x)=x^{2};
  • ou restringir o domínio para (-\infty,0], ficando f\colon (-\infty,0]\to[0,\infty) com f(x)=x^{2}.
Vou mostrar por que cada uma dessas restrições torna a função injetiva.
Prova de injetividade em [0,\infty): suponha x_{1},x_{2}\in[0,\infty) e x_{1}^{2}=x_{2}^{2}. Como ambos são não-negativos, podemos tirar raiz quadrada preservando igualdade e obter x_{1}=x_{2}. Logo f é injetiva em [0,\infty). (Outra observação: f'(x)=2x\ge 0 em [0,\infty), estritamente positivo para x>0, então f é monótona crescente em [0,\infty), o que também implica injetividade.)
Prova de injetividade em (-\infty,0]: suponha x_{1},x_{2}\in(-\infty,0] e x_{1}^{2}=x_{2}^{2}. Como ambos são não-positivos, tomar raiz com sinal negativo dá x_{1}=x_{2}. Também aqui f é monótona decrescente em (-\infty,0], garantindo injetividade.
Em ambas as restrições a imagem é [0,\infty), então, como função para esse codomínio, f torna-se bijetora e, portanto, tem inversa.

Passo 6

Fórmulas explícitas das inversas (mini-aula de interpretação): para cada restrição a inversa é uma única ramificação da raiz quadrada.
  • Se f\colon [0,\infty)\to[0,\infty) com f(x)=x^{2}, então a inversa é
f^{-1}(y)=\sqrt{y},\qquad y\in[0,\infty).
Aqui o símbolo \sqrt{y} denota a raiz quadrada não-negativa, compatível com o domínio escolhido.
  • Se f\colon (-\infty,0]\to[0,\infty) com f(x)=x^{2}, então a inversa é
f^{-1}(y)=-\sqrt{y},\qquad y\in[0,\infty).
Aqui escolhe-se a ramificação negativa para corresponder à porção negativa do domínio.

Passo 7

Dicas para a prova (curto e prático):
  • Para testar injetividade rápido, experimente x e -x: para funções pares como x^{2} isso quase sempre revela falta de injetividade.
  • Para obter a inversa de x^{2}, escreva y=x^{2} e resolva para x; se aparecer \pm então é preciso restringir o domínio para ficar com apenas um sinal.
  • A restrição mais usada é [0,\infty) porque dá a inversa \sqrt{y}, que é familiar e simples de usar.

Resposta

  1. Não.
  2. Não.
  3. Restringir o domínio para [0,\infty) (inversa f^{-1}(y)=\sqrt{y}, y\in[0,\infty)) ou alternativamente para (-\infty,0] (inversa f^{-1}(y)=-\sqrt{y}, y\in[0,\infty)).

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