Exercício 1. Determine se a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=3 x-2 é injetiva, sobrejetiva e/ou bijetiva.
Hint: Se f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right), o que pode ser dito sobre x_{1} e x_{2} ?

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=3x-2.
O que se pede:
  • Determinar se f é injetiva (uma-para-uma);
  • Determinar se f é sobrejetiva (sobre);
  • Determinar se f é bijetiva (ambas).
Informações relevantes: o domínio e contradomínio são \mathbb{R} e a função é uma função afim (reta) com coeficiente angular 3 e termo independente -2.

Passo 2

Definição prática de injetividade (explicação didática): dizer que f é injetiva significa que dois valores diferentes na entrada não podem dar o mesmo valor na saída. Formalmente, f é injetiva se, sempre que
f(x_1)=f(x_2),
então necessariamente
x_1=x_2.
Ou em palavras: se duas imagens coincidem, as origens também coincidem — nada de “colisão” de pontos diferentes.

Passo 3

Teste de injetividade aplicado a f. Suponha que x_1,x_2\in\mathbb{R} e que
f(x_1)=f(x_2).
Substituindo a fórmula da função:
3x_1-2=3x_2-2.
Agora simplifica-se somando 2 em ambos os lados:
3x_1=3x_2.
Dividindo por 3 (que é diferente de zero):
x_1=x_2.
Concluímos que sempre que as imagens são iguais as origens são iguais; portanto f é injetiva. Intuição: a reta tem coeficiente angular 3\neq0, então é estritamente crescente e não “bate” em dois pontos distintos com a mesma ordenada.

Passo 4

Definição prática de sobrejetividade (explicação didática): f é sobrejetiva sobre \mathbb{R} se, para todo valor y\in\mathbb{R} do contradomínio, existir algum x\in\mathbb{R} tal que f(x)=y. Em outras palavras: todo número real aparece como imagem de algum número real.

Passo 5

Teste de sobrejetividade aplicado a f. Tome um y\in\mathbb{R} qualquer. Queremos achar x tal que
f(x)=y\quad\Longleftrightarrow\quad 3x-2=y.
Resolva essa equação para x:
3x=y+2\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{y+2}{3}.
Como y é real, \dfrac{y+2}{3} também é um número real. Portanto para qualquer y existe um x\in\mathbb{R} (especificamente x=(y+2)/3) tal que f(x)=y. Logo f é sobrejetiva.
Exemplo numérico rápido para fixar: se y=4, então x=(4+2)/3=2 e f(2)=3\cdot2-2=4, funciona.

Passo 6

Conclusão sobre bijetividade e observação final. Como f é injetiva e sobrejetiva, ela é bijetiva. A bijetividade também permite escrever a função inversa explicitamente: para y\in\mathbb{R},
f^{-1}(y)=\frac{y+2}{3}.
Ou, trocando o nome da variável de volta para x,
f^{-1}(x)=\frac{x+2}{3}.

Resposta

Injetiva: sim
Sobrejetiva: sim
Bijetiva: sim

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