Exercício 1. Determine se a função
dada por
é injetiva, sobrejetiva e/ou bijetiva.
Hint: Se
, o que pode ser dito sobre
e
?
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que se pede:
- Determinar se
é injetiva (uma-para-uma); - Determinar se
é sobrejetiva (sobre); - Determinar se
é bijetiva (ambas).
Informações relevantes: o domínio e contradomínio são
e a função é uma função afim (reta) com coeficiente angular
e termo independente
.
Passo 2
Definição prática de injetividade (explicação didática): dizer que
é injetiva significa que dois valores diferentes na entrada não podem dar o mesmo valor na saída. Formalmente,
é injetiva se, sempre que
então necessariamente
Ou em palavras: se duas imagens coincidem, as origens também coincidem — nada de “colisão” de pontos diferentes.
Passo 3
Teste de injetividade aplicado a
. Suponha que
e que
Substituindo a fórmula da função:
Agora simplifica-se somando
em ambos os lados:
Dividindo por
(que é diferente de zero):
Concluímos que sempre que as imagens são iguais as origens são iguais; portanto
é injetiva. Intuição: a reta tem coeficiente angular
, então é estritamente crescente e não “bate” em dois pontos distintos com a mesma ordenada.
Passo 4
Definição prática de sobrejetividade (explicação didática):
é sobrejetiva sobre
se, para todo valor
do contradomínio, existir algum
tal que
. Em outras palavras: todo número real aparece como imagem de algum número real.
Passo 5
Teste de sobrejetividade aplicado a
. Tome um
qualquer. Queremos achar
tal que
Resolva essa equação para
:
Como
é real,
também é um número real. Portanto para qualquer
existe um
(especificamente
) tal que
. Logo
é sobrejetiva.
Exemplo numérico rápido para fixar: se
, então
e
, funciona.
Passo 6
Conclusão sobre bijetividade e observação final. Como
é injetiva e sobrejetiva, ela é bijetiva. A bijetividade também permite escrever a função inversa explicitamente: para
,
Ou, trocando o nome da variável de volta para
,
Resposta
Injetiva: sim
Sobrejetiva: sim
Bijetiva: sim
Sobrejetiva: sim
Bijetiva: sim