Exercício 9. Determine uma função potencial para o campo
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede que a gente determine uma função potencial para esse campo.
Ou seja: encontrar uma função escalar tal que
Ou seja: encontrar uma função escalar
isto é,
Passo 2
O que significa “função potencial” de forma bem direta? É uma função
cuja derivada parcial em cada direção dá a componente correspondente do campo. A operação gradiente é
Ao resolver esse tipo de problema a ideia prática (e simples) é: integrar uma das componentes em relação à sua variável (tratando as outras como constantes), obter
com uma “constante” de integração que depende das outras variáveis, e depois determinar essa dependência usando as outras componentes. Vou usar essa estratégia passo a passo — é a versão “manual” e segura que dá certo na prova sem precisar apresentar o cálculo do rotor formalmente.
Passo 3
Antes de começar, é bom checar se o campo é compatível com ser gradiente (ou seja, se é conservativo). Uma verificação simples é comparar derivadas parciais cruzadas (equivalente a verificar que o rotor é zero). Calculemos:
Essas duas coincidem. Agora as outras:
Também coincidem. Finalmente,
Também coincidem. Como todas as derivadas cruzadas relevantes batem, o campo é compatível com ser gradiente (e estamos num domínio simplesmente conectado
), então existe uma
.
Passo 4
Integramos a primeira componente em relação a
. Lembre-se: ao integrar uma derivada parcial em relação a
, tratamos
e
como constantes.
Integramos em
:
Para
usamos substituição: se
então
, logo
(válido para
; a expressão final será contínua também quando
). Assim
onde
é a “constante” de integração relativa a
: depende só de
e
.
Passo 5
Usamos a segunda componente para determinar
. Calculemos
a partir da expressão obtida:
Devemos ter
. Igualando:
Integramos essa igualdade em
(tratando
como constante):
onde
é agora a “constante” de integração que depende só de
.
Passo 6
Substituímos
em
e usamos a terceira componente para determinar
. Assim
Agora calcule
:
Devemos ter
. Igualando:
Integramos em
:
onde
é uma constante real (constante absoluta).
Passo 7
Juntando tudo obtemos a função potencial completa:
Podemos escolher
se quisermos uma potencial particular; qualquer constante acrescentada dá outro potencial equivalente. Vamos dar a forma final sem a constante redundante para ficar elegante.