Exercício 9. Determine uma função potencial para o campo
F(x, y, z)=(y z \cos (x z)+1, \operatorname{sen}(x z)+2, x y \cos (x z)+3) .

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z)=\bigl(y z \cos(x z)+1,\;\sin(x z)+2,\;x y \cos(x z)+3\bigr)
e pede que a gente determine uma função potencial para esse campo.
Ou seja: encontrar uma função escalar \varphi(x,y,z) tal que
\nabla \varphi = F,
isto é,
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=y z \cos(x z)+1,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=\sin(x z)+2,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial z}=x y \cos(x z)+3.

Passo 2

O que significa “função potencial” de forma bem direta? É uma função \varphi(x,y,z) cuja derivada parcial em cada direção dá a componente correspondente do campo. A operação gradiente é
\nabla\varphi=\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x},\frac{\partial\varphi}{\partial y},\frac{\partial\varphi}{\partial z}\right).
Ao resolver esse tipo de problema a ideia prática (e simples) é: integrar uma das componentes em relação à sua variável (tratando as outras como constantes), obter \varphi com uma “constante” de integração que depende das outras variáveis, e depois determinar essa dependência usando as outras componentes. Vou usar essa estratégia passo a passo — é a versão “manual” e segura que dá certo na prova sem precisar apresentar o cálculo do rotor formalmente.

Passo 3

Antes de começar, é bom checar se o campo é compatível com ser gradiente (ou seja, se é conservativo). Uma verificação simples é comparar derivadas parciais cruzadas (equivalente a verificar que o rotor é zero). Calculemos:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y z \cos(x z)+1\bigr)=z\cos(x z),
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\sin(x z)+2\bigr)=z\cos(x z).
Essas duas coincidem. Agora as outras:
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(y z \cos(x z)+1\bigr) = y\cos(x z)+y z\cdot(-\sin(x z))\cdot x = y\cos(x z)-x y z\sin(x z),
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x y \cos(x z)+3\bigr) = y\cos(x z)+x y\cdot(-\sin(x z))\cdot z = y\cos(x z)-x y z\sin(x z).
Também coincidem. Finalmente,
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\sin(x z)+2\bigr)=x\cos(x z),
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x y \cos(x z)+3\bigr)=x\cos(x z).
Também coincidem. Como todas as derivadas cruzadas relevantes batem, o campo é compatível com ser gradiente (e estamos num domínio simplesmente conectado \mathbb{R}^3), então existe uma \varphi.

Passo 4

Integramos a primeira componente em relação a x. Lembre-se: ao integrar uma derivada parcial em relação a x, tratamos y e z como constantes.
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=y z \cos(x z)+1
Integramos em x:
\varphi(x,y,z)=\int\!(y z \cos(x z)+1)\,dx = y z\int\!\cos(x z)\,dx + \int\!1\,dx.
Para \int \cos(x z)\,dx usamos substituição: se u=x z então du=z\,dx, logo \int \cos(x z)\,dx = \frac{1}{z}\sin(x z) (válido para z\neq0; a expressão final será contínua também quando z=0). Assim
\varphi(x,y,z)=y z\cdot\frac{1}{z}\sin(x z)+x+g(y,z) = y\sin(x z)+x+g(y,z),
onde g(y,z) é a “constante” de integração relativa a x: depende só de y e z.

Passo 5

Usamos a segunda componente para determinar g. Calculemos \partial\varphi/\partial y a partir da expressão obtida:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x+y\sin(x z)+g(y,z)\bigr) =\sin(x z)+\frac{\partial g}{\partial y}(y,z).
Devemos ter \partial\varphi/\partial y=\sin(x z)+2. Igualando:
\sin(x z)+\frac{\partial g}{\partial y}(y,z)=\sin(x z)+2 \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}(y,z)=2.
Integramos essa igualdade em y (tratando z como constante):
g(y,z)=2y+h(z),
onde h(z) é agora a “constante” de integração que depende só de z.

Passo 6

Substituímos g em \varphi e usamos a terceira componente para determinar h. Assim
\varphi(x,y,z)=x+y\sin(x z)+2y+h(z).
Agora calcule \partial\varphi/\partial z:
\frac{\partial\varphi}{\partial z} = y\cdot\frac{\partial}{\partial z}\sin(x z) + h'(z) = y\cdot\bigl(x\cos(x z)\bigr)+h'(z) = x y \cos(x z)+h'(z).
Devemos ter \partial\varphi/\partial z = x y \cos(x z)+3. Igualando:
x y \cos(x z)+h'(z)=x y \cos(x z)+3 \quad\Rightarrow\quad h'(z)=3.
Integramos em z:
h(z)=3z+C,
onde C é uma constante real (constante absoluta).

Passo 7

Juntando tudo obtemos a função potencial completa:
\varphi(x,y,z)=x+y\sin(x z)+2y+3z+C.
Podemos escolher C=0 se quisermos uma potencial particular; qualquer constante acrescentada dá outro potencial equivalente. Vamos dar a forma final sem a constante redundante para ficar elegante.

Resposta

\varphi(x,y,z)=x+y\sin(x z)+2y+3z

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