- Exercício 3: Nem tudo o que sobe desce! De fato, pode-se imaginar que um corpo seja lançado com uma velocidade tão grande que acabe escapando da atração gravitacional da Terra. A menor velocidade para a qual isso acontece é dita a velocidade de escape da Terra. Para se ter uma idéia dessa velocidade, denote por
a velocidade inicial, por
a massa e por
a altura do corpo a partir do solo no instante
. Desconsiderando a resistência do ar, o corpo está sujeito apenas à força gravitacional
, em que
é constante,
é a massa e
é o raio da Terra. Usando a segunda lei de Newton
segue-se que
satisfaz às condições
(a) Verifique que
é um fator integrante, isto é, que multiplicando por esse fator pode-se integrar ambos os lados da equação.
(b) Usando o item acima, expresse
em termos de
, das constantes
e
e de uma constante de integração
.
(c) Use as condições iniciais para determinar a constante
.
(d) Para o corpo escapar da atração gravitacional da Terra é necessário que a velocidade
seja sempre positiva. Determine uma condição em
para que isso aconteça.
(e) Determine a velocidade de escape da Terra.
(b) Usando o item acima, expresse
(c) Use as condições iniciais para determinar a constante
(d) Para o corpo escapar da atração gravitacional da Terra é necessário que a velocidade
(e) Determine a velocidade de escape da Terra.
Passo 1
O enunciado dá a equação do movimento (desprezando resistência do ar) para a altura
de um corpo lançado verticalmente:
com condições iniciais
As perguntas são:
(a) Mostrar que multiplicando a equação por obtém-se um integrando (isto é, que
é um fator que permite integrar ambos os lados).
(b) A partir disso, expressar em função de
, das constantes
e de uma constante de integração
.
(c) Usar as condições iniciais para determinar .
(d) Determinar uma condição sobre para que
seja sempre positiva (o que corresponde ao corpo escapar e nunca voltar).
(e) Determinar a velocidade de escape da Terra (valor mínimo de que satisfaz a condição do item (d)).
(a) Mostrar que multiplicando a equação por
(b) A partir disso, expressar
(c) Usar as condições iniciais para determinar
(d) Determinar uma condição sobre
(e) Determinar a velocidade de escape da Terra (valor mínimo de
Passo 2
Vou começar multiplicando a equação diferencial por
. Isso é uma técnica clássica: multiplicar uma equação do tipo
por
transforma o lado esquerdo numa derivada temporal direta de
, o que facilita integrar no tempo. Aplicando:
Passo 3
Agora explico por que o lado esquerdo é uma derivada exata. Note que
Isto vem da regra da derivada:
. Multiplicando pela constante
temos:
Portanto multiplicar pela
transforma o lado esquerdo em uma derivada temporal simples, o que confirma que
é um “fator integrante” neste sentido (ou melhor: torna a equação integrável diretamente).
Passo 4
Agora integramos em relação ao tempo. A igualdade do Passo 2 escrita usando o resultado do Passo 3 é
Integramos ambos os lados em
:
No lado esquerdo a integral é imediata:
No lado direito fazemos a substituição
, então
. Assim
Multiplicando por
obtemos
Passo 5
Igualando os dois lados após integração (absorvendo constantes de integração numa só constante
) obtemos:
onde
é uma constante de integração (a mesma nos dois lados, depois de rearranjar). Esta é a expressão integrada que relaciona
com
. Podemos isolar
. Dividindo por
e definindo convenientemente a constante de integração, uma forma simples é:
onde aqui
já representa a constante após essa divisão (ou, se preferir, é equivalente escrever
vezes a constante anterior).
Passo 6
Agora aplicamos as condições iniciais
e
para determinar
. Substituindo
na fórmula do Passo 5:
Portanto
Substituindo de volta na expressão geral temos a relação completa:
Uma forma mais explícita, obtida ao reorganizar, é
Passo 7
Interpretando fisicamente e matematicamente a expressão obtida: a velocidade ao quadrado
depende de
por meio da fração
, que é uma função decrescente de
. Para o corpo “escapar” é necessário que
para todo
(ou ao menos que nunca se anule em algum
finito). Como
é contínuo e seu menor valor, ao deixarmos
crescer, é o limite quando
. Tomamos esse limite para obter a condição segura que garante positividade para toda altura:
Se esse limite for positivo então
permanece sempre positiva (pois a expressão decresce com
), garantindo
sempre. Logo a condição necessária e suficiente para que a velocidade permaneça positiva para todo
é
ou seja
Passo 8
A velocidade de escape é o menor
que satisfaz essa condição, portanto a velocidade crítica (limite) vem da igualdade:
e assim
Observações úteis: a massa
do corpo cancelou ao longo do cálculo, mostrando que a velocidade de escape não depende da massa do objeto lançado. A expressão é a conhecida fórmula da física para a velocidade de escape de um corpo no nível do raio
de um planeta de massa
.
Resposta
(a) Multiplicando por
obtemos
, logo
torna a equação integrável (é o fator que leva a uma derivada exata).
(b)
(c)
(d) Condição para para todo
:
(e) Velocidade de escape:
(b)
(c)
(d) Condição para
(e) Velocidade de escape: