• Exercício 3: Nem tudo o que sobe desce! De fato, pode-se imaginar que um corpo seja lançado com uma velocidade tão grande que acabe escapando da atração gravitacional da Terra. A menor velocidade para a qual isso acontece é dita a velocidade de escape da Terra. Para se ter uma idéia dessa velocidade, denote por v_{0} a velocidade inicial, por m a massa e por h(t) a altura do corpo a partir do solo no instante t. Desconsiderando a resistência do ar, o corpo está sujeito apenas à força gravitacional F=-m M G /(R+h(t))^{2}, em que G é constante, M é a massa e R é o raio da Terra. Usando a segunda lei de Newton F=m h^{\prime \prime}(t) segue-se que h(t) satisfaz às condições
m h^{\prime \prime}(t)=-\frac{m M G}{(R+h(t))^{2}}, \quad h(0)=0, h^{\prime}(0)=v_{0}
(a) Verifique que h^{\prime}(t) é um fator integrante, isto é, que multiplicando por esse fator pode-se integrar ambos os lados da equação.
(b) Usando o item acima, expresse h^{\prime}(t)^{2} em termos de h(t), das constantes M, G e R e de uma constante de integração K.
(c) Use as condições iniciais para determinar a constante K.
(d) Para o corpo escapar da atração gravitacional da Terra é necessário que a velocidade h^{\prime}(t) seja sempre positiva. Determine uma condição em v_{0} para que isso aconteça.
(e) Determine a velocidade de escape da Terra.

Passo 1

O enunciado dá a equação do movimento (desprezando resistência do ar) para a altura h(t) de um corpo lançado verticalmente:
m\,h''(t)=-\frac{m M G}{(R+h(t))^{2}},
com condições iniciais
h(0)=0,\qquad h'(0)=v_{0}.
As perguntas são:
(a) Mostrar que multiplicando a equação por h'(t) obtém-se um integrando (isto é, que h'(t) é um fator que permite integrar ambos os lados).
(b) A partir disso, expressar h'(t)^{2} em função de h(t), das constantes M, G, R e de uma constante de integração K.
(c) Usar as condições iniciais para determinar K.
(d) Determinar uma condição sobre v_{0} para que h'(t) seja sempre positiva (o que corresponde ao corpo escapar e nunca voltar).
(e) Determinar a velocidade de escape da Terra (valor mínimo de v_{0} que satisfaz a condição do item (d)).

Passo 2

Vou começar multiplicando a equação diferencial por h'(t). Isso é uma técnica clássica: multiplicar uma equação do tipo m h'' = f(h) por h' transforma o lado esquerdo numa derivada temporal direta de (h')^{2}, o que facilita integrar no tempo. Aplicando:
m\,h''(t)\,h'(t) = -\frac{m M G}{(R+h(t))^{2}}\,h'(t).

Passo 3

Agora explico por que o lado esquerdo é uma derivada exata. Note que
h''(t)\,h'(t)=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\big(h'(t)^{2}\big).
Isto vem da regra da derivada: \dfrac{d}{dt}\big(h'(t)^{2}\big)=2\,h'(t)\,h''(t). Multiplicando pela constante m temos:
m\,h''(t)\,h'(t)=\frac{m}{2}\frac{d}{dt}\big(h'(t)^{2}\big).
Portanto multiplicar pela h'(t) transforma o lado esquerdo em uma derivada temporal simples, o que confirma que h'(t) é um “fator integrante” neste sentido (ou melhor: torna a equação integrável diretamente).

Passo 4

Agora integramos em relação ao tempo. A igualdade do Passo 2 escrita usando o resultado do Passo 3 é
\frac{m}{2}\frac{d}{dt}\big(h'(t)^{2}\big) = -m M G\frac{h'(t)}{(R+h(t))^{2}}.
Integramos ambos os lados em t:
\int \frac{m}{2}\frac{d}{dt}\big(h'(t)^{2}\big)\,dt = -m M G \int \frac{h'(t)}{(R+h(t))^{2}}\,dt.
No lado esquerdo a integral é imediata:
\frac{m}{2}h'(t)^{2} + C_{1}.
No lado direito fazemos a substituição u=R+h(t), então du=h'(t)\,dt. Assim
\int \frac{h'(t)}{(R+h(t))^{2}}\,dt = \int \frac{du}{u^{2}} = -\frac{1}{u} + C_{2} = -\frac{1}{R+h(t)} + C_{2}.
Multiplicando por -mMG obtemos
-m M G \int \frac{h'}{(R+h)^{2}}\,dt = -m M G\left(-\frac{1}{R+h(t)}\right) + C_{3} = \frac{m M G}{R+h(t)} + C_{3}.

Passo 5

Igualando os dois lados após integração (absorvendo constantes de integração numa só constante K) obtemos:
\frac{m}{2}h'(t)^{2} = \frac{m M G}{R+h(t)} + K,
onde K é uma constante de integração (a mesma nos dois lados, depois de rearranjar). Esta é a expressão integrada que relaciona h'(t)^{2} com h(t). Podemos isolar h'(t)^{2}. Dividindo por m/2 e definindo convenientemente a constante de integração, uma forma simples é:
h'(t)^{2} = \frac{2 M G}{R+h(t)} + K,
onde aqui K já representa a constante após essa divisão (ou, se preferir, é equivalente escrever K=\dfrac{2}{m} vezes a constante anterior).

Passo 6

Agora aplicamos as condições iniciais h(0)=0 e h'(0)=v_{0} para determinar K. Substituindo t=0 na fórmula do Passo 5:
v_{0}^{2} = \frac{2 M G}{R+0} + K.
Portanto
K = v_{0}^{2} - \frac{2 M G}{R}.
Substituindo de volta na expressão geral temos a relação completa:
h'(t)^{2} = \frac{2 M G}{R+h(t)} + v_{0}^{2} - \frac{2 M G}{R}.
Uma forma mais explícita, obtida ao reorganizar, é
h'(t)^{2} = v_{0}^{2} + 2MG\left(\frac{1}{R+h(t)}-\frac{1}{R}\right).

Passo 7

Interpretando fisicamente e matematicamente a expressão obtida: a velocidade ao quadrado h'(t)^{2} depende de h(t) por meio da fração 1/(R+h), que é uma função decrescente de h. Para o corpo “escapar” é necessário que h'(t)>0 para todo t\ge 0 (ou ao menos que nunca se anule em algum h finito). Como h'(t)^{2} é contínuo e seu menor valor, ao deixarmos h crescer, é o limite quando h\to\infty. Tomamos esse limite para obter a condição segura que garante positividade para toda altura:
\lim_{h\to\infty} h'(t)^{2} = v_{0}^{2} + 2MG\left(0-\frac{1}{R}\right) = v_{0}^{2} - \frac{2 M G}{R}.
Se esse limite for positivo então h'(t)^{2} permanece sempre positiva (pois a expressão decresce com h), garantindo h'(t)>0 sempre. Logo a condição necessária e suficiente para que a velocidade permaneça positiva para todo t é
v_{0}^{2} - \frac{2 M G}{R} > 0,
ou seja
v_{0}^{2} > \frac{2 M G}{R}.

Passo 8

A velocidade de escape é o menor v_{0} que satisfaz essa condição, portanto a velocidade crítica (limite) vem da igualdade:
v_{\text{esc}}^{2} = \frac{2 M G}{R},
e assim
v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2 M G}{R}}.
Observações úteis: a massa m do corpo cancelou ao longo do cálculo, mostrando que a velocidade de escape não depende da massa do objeto lançado. A expressão é a conhecida fórmula da física para a velocidade de escape de um corpo no nível do raio R de um planeta de massa M.

Resposta

(a) Multiplicando por h'(t) obtemos \dfrac{m}{2}\dfrac{d}{dt}\big(h'(t)^{2}\big) = -mMG\dfrac{h'(t)}{(R+h(t))^{2}}, logo h'(t) torna a equação integrável (é o fator que leva a uma derivada exata).
(b) \;h'(t)^{2}=\dfrac{2MG}{R+h(t)}+K.
(c) \;K=v_{0}^{2}-\dfrac{2MG}{R}.
(d) Condição para h'(t)>0 para todo t: \;v_{0}^{2}>\dfrac{2MG}{R}.
(e) Velocidade de escape: \;v_{\text{esc}}=\sqrt{\dfrac{2MG}{R}}.

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