Exercício 3.3: Determine as funções
cujas transformadas de Fourier são dadas por:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a transformada de Fourier
e pede a função
cuja transformada é essa. O conteúdo envolve a fórmula da transformada inversa e o método dos resíduos em integração no plano complexo.
Passo 2
A transformada inversa (convenção
) é
Para usar cálculo de resíduos, fechamos o contorno no semiplano superior se
e no inferior se
.
Passo 3
Note que o denominador factoriza assim:
Os polos simples estão em
ambos com
.
Passo 4
Se
, fechamos o contorno no semiplano inferior, onde não há polos, logo
Passo 5
Se
, fechamos no semiplano superior e
Passo 6
Para um polo simples
,
onde
e
Em
:
Em
:
Passo 7
Assim, para
,
Mas
, então