(3,0 pontos) Responda: A área delimitada pela função f(x)=\sqrt{x} e \circ eixo das abscissas, com 0 \leq x \leq 4, é maior que a área delimitada por f(x)=\cos ^{2} x, o eixo das abscissas, com 0 \leq x \leq \pi ?

Passo 1

O enunciado pede para comparar duas áreas sob curvas no intervalo dado, usando integração definida. Precisamos lembrar que a área entre a curva y=f(x) e o eixo das abscissas de x=a a x=b é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Aqui vamos calcular
  1. A_1 = \displaystyle\int_{0}^{4} \sqrt{x}\,dx
  2. A_2 = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \cos^2 x\,dx
    e então verificar se A_1 > A_2.

Passo 2

Calculemos
A_{1} = \int_{0}^{4} x^{\tfrac12}\,dx.
Usamos a regra de potência \displaystyle\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}. Assim,
A_{1} = \left[\frac{x^{\tfrac32}}{\tfrac32}\right]_{0}^{4} = \frac{2}{3}\bigl(4^{\tfrac32}-0\bigr) = \frac{2}{3}\cdot 8 = \frac{16}{3}.

Passo 3

Calculemos
A_{2} = \int_{0}^{\pi} \cos^2 x\,dx.
Usamos a identidade trigonométrica
\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}.
Logo,
A_{2} = \int_{0}^{\pi} \frac{1+\cos(2x)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}1\,dx + \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos(2x)\,dx.
O primeiro termo é \tfrac12\cdot\pi. O segundo termo é zero porque \displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos(2x)\,dx = \bigl[\tfrac{\sin(2x)}{2}\bigr]_{0}^{\pi} = 0.
Portanto
A_{2} = \frac{\pi}{2}.

Passo 4

Agora comparamos
A_{1} = \frac{16}{3}\approx 5{,}33, \quad A_{2} = \frac{\pi}{2}\approx 1{,}57.
Claramente \tfrac{16}{3} > \tfrac{\pi}{2}, ou seja, A_{1} > A_{2}.

Resposta

Sim. A área sob f(x)=\sqrt{x} de 0 a 4 é maior do que a área sob f(x)=\cos^2 x de 0 a \pi.

Exercícios relacionados