(3,0 pontos) Responda: A área delimitada pela função f(x)=\sqrt{x} e \circ eixo das abscissas, com 0 \leq x \leq 4, é maior que a área delimitada por f(x)=\cos ^{2} x, o eixo das abscissas, com 0 \leq x \leq \pi ?
Passo 1
O enunciado pede para comparar duas áreas sob curvas no intervalo dado, usando integração definida. Precisamos lembrar que a área entre a curva y=f(x) e o eixo das abscissas de x=a a x=b é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Aqui vamos calcular
A_1 = \displaystyle\int_{0}^{4} \sqrt{x}\,dx
A_2 = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \cos^2 x\,dx
e então verificar se A_1 > A_2.
Passo 2
Calculemos
A_{1} = \int_{0}^{4} x^{\tfrac12}\,dx.
Usamos a regra de potência \displaystyle\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}. Assim,
O primeiro termo é \tfrac12\cdot\pi. O segundo termo é zero porque \displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos(2x)\,dx = \bigl[\tfrac{\sin(2x)}{2}\bigr]_{0}^{\pi} = 0.
Portanto