(2,0 pontos) Calcule a área do triângulo com vértices nas pontos do plano (0,0),(3,2),(1,3), usando a integral de Riemann.

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo cujos vértices são (0,0), (3,2) e (1,3), usando integral de Riemann. A ideia é usar fatias verticais: a área vale
\iint_{T}1\,dA \;=\;\int_{x_{\min}}^{x_{\max}}\bigl(y_{\text{sup}}(x)-y_{\text{inf}}(x)\bigr)\,dx.
Precisamos então:
– descobrir as retas que formam as arestas,
– determinar, para cada x em [0,3], qual é y_{\inf}(x) e y_{\sup}(x),
– montar e calcular as integrais.

Passo 2

Encontrando as equações das retas:
  1. Reta entre (0,0) e (3,2):
y = \frac{2-0}{3-0}\,x = \frac23x.
  1. Reta entre (0,0) e (1,3):
y = \frac{3-0}{1-0}\,x = 3x.
  1. Reta entre (3,2) e (1,3):
    coeficiente angular \displaystyle\frac{3-2}{1-3}=-\tfrac12, logo
y-2 = -\tfrac12\,(x-3)\quad\Longrightarrow\quad y = -\tfrac12x + \tfrac72.

Passo 3

Determinar o comportamento de y_{\inf} e y_{\sup} em função de x:
  • Para 0 \le x \le 1, a parte de baixo é \tfrac23x e a de cima é 3x.
  • Para 1 \le x \le 3, a parte de baixo continua \tfrac23x e a de cima é -\tfrac12x+\tfrac72.

Passo 4

Montando a integral em duas partes:
\text{Área} =\int_{0}^{1}\Bigl(3x - \tfrac23x\Bigr)\,dx +\int_{1}^{3}\Bigl(\bigl(-\tfrac12x+\tfrac72\bigr)-\tfrac23x\Bigr)\,dx.Á
Calculando cada termo:
  1. Para 0 a 1:
\int_{0}^{1}\Bigl(3-\tfrac23\Bigr)x\,dx =\frac{7}{3}\int_{0}^{1}x\,dx =\frac{7}{3}\cdot\frac{1}{2} =\frac{7}{6}.
  1. Para 1 a 3, o integrando é -\tfrac12x-\tfrac23x+\tfrac72 = -\tfrac{7}{6}x + \tfrac72:
\int_{1}^{3}\Bigl(-\tfrac{7}{6}x + \tfrac72\Bigr)\,dx =\Bigl[\tfrac72x - \tfrac{7}{12}x^2\Bigr]_{1}^{3} =\bigl(\tfrac{21}{2}-\tfrac{63}{12}\bigr)-\bigl(\tfrac{7}{2}-\tfrac{7}{12}\bigr) =\frac{21}{4}-\frac{35}{12} =\frac{7}{3}.
Somando:
\text{Área} = \frac{7}{6} + \frac{7}{3} = \frac{7}{6} + \frac{14}{6} = \frac{21}{6} = \frac72.Á

Resposta

A área do triângulo é \displaystyle \frac72.

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