Exercício 1 - Determine um gerador para
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x-y+2 z=0\right\}

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto W de \mathbb{R}^{3} definido por uma equação linear:
W=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x-y+2z=0\right\}.
O que se pede: determinar um gerador para W (ou seja, um conjunto de vetores cujo espaço linear gerado é exatamente W).

Passo 2

Ideia para resolver: uma equação linear em \mathbb{R}^{3} impõe uma restrição entre x,y,z. Podemos escolher duas variáveis como parâmetros livres e escrever a terceira em função desses parâmetros — isso parametriza todos os vetores de W. Vou explicar passo a passo como escolher e usar esses parâmetros.
Pegamos a equação
x-y+2z=0.
Isolamos uma variável (por exemplo x) em função das outras duas:
x = y - 2z.
Agora escolhemos parâmetros para as variáveis livres. Seja s o parâmetro associado a y e t o parâmetro associado a z. Assim:
y = s,\qquad z = t.
Então, usando x=y-2z,
x = s - 2t.

Passo 3

Escrevemos um vetor genérico de W em função de s e t. Para (x,y,z)\in W temos
(x,y,z) = (s-2t,\; s,\; t).
Agora separamos os coeficientes de s e t para expressar como combinação linear:
(x,y,z) = s\,(1,1,0) + t\,(-2,0,1).
Isso mostra que todo vetor de W é combinação linear dos vetores (1,1,0) e (-2,0,1). Logo
W \subseteq \operatorname{span}\{(1,1,0),\,(-2,0,1)\}.

Passo 4

Mostro a inclusão inversa (ou seja, qualquer combinação linear desses dois vetores satisfaz a equação), para garantir que o span seja exatamente W.
Tome um vetor genérico da forma
v = a\,(1,1,0) + b\,(-2,0,1) = (a-2b,\; a,\; b).
Verifico a equação definidora de W:
\text{(primeira coordenada)} - \text{(segunda coordenada)} + 2\cdot\text{(terceira coordenada)} = (a-2b) - a + 2b = 0.
Portanto v satisfaz x-y+2z=0, isto é, v\in W. Assim
\operatorname{span}\{(1,1,0),\,(-2,0,1)\} \subseteq W.
Combinando as duas inclusões obtemos
W = \operatorname{span}\{(1,1,0),\,(-2,0,1)\}.

Passo 5

Observação extra útil na prova: os dois vetores escolhidos são linearmente independentes, então formam uma base de W\) (além de gerar). Para ver a independência, suponha \[c_1(1,1,0) + c_2(-2,0,1) = (0,0,0).
Isso gera o sistema de coordenadas
\begin{cases} c_1 - 2c_2 = 0,\\[4pt] c_1 = 0,\\[4pt] c_2 = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem c_1=0\]; substituindo na primeira dá \(-2c_2=0 então c_2=0. Logo apenas a combinação trivial produz o vetor nulo, provando independência. Conclusão: os vetores são geradores e formam uma base de W. Dica prática: em questões parecidas escolha duas variáveis livres, ponha parâmetros e leia diretamente os vetores geradores.]

Resposta

\{(1,1,0),\,(-2,0,1)\}

Exercícios relacionados