Determine quais itens são verdadeiros e quais itens são falsos, justificando sua resposta.
O conjunto W=\left\{p(x)=a+b x+c x^{2}+d x^{3} \in P_{3}(\mathbb{R}): p(0)=0, p^{\prime}(1)=0\right\} é subespaço de P_{3}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
W=\{p(x)=a+b x+c x^{2}+d x^{3}\in P_{3}(\mathbb{R}) : p(0)=0,\; p^{\prime}(1)=0\}.
A pergunta é: W é subespaço de P_{3}(\mathbb{R})?\n
Informações relevantes fornecidas:
  • Polinômios têm forma p(x)=a+b x+c x^{2}+d x^{3} com coeficientes a,b,c,d\in\mathbb{R}.
  • Condição p(0)=0.
  • Condição p^{\prime}(1)=0.
    O objetivo é verificar (e justificar) se W satisfaz as propriedades necessárias para ser subespaço.

Passo 2

Entender as condições em termos dos coeficientes. Primeiro calcule p(0) e p^{\prime}(x):
p(0)=a,
logo a condição p(0)=0 implica
a=0.
A derivada do polinômio é
p^{\prime}(x)=b+2c x+3d x^{2}.
Avaliar em x=1
p^{\prime}(1)=b+2c+3d.
Portanto a condição p^{\prime}(1)=0 é equivalente a
b+2c+3d=0.

Passo 3

Lembrando a definição: um subconjunto U de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se
  1. U\neq\varnothing (normalmente verificamos se o vetor zero está em U);
  2. fechado sob soma: se u,v\in U então u+v\in U;
  3. fechado sob multiplicação por escalar: se u\in U e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in U.
    Vou checar essas três propriedades para W.

Passo 4

Verificar que o polinômio zero pertence a W. O polinômio zero tem a=b=c=d=0. Para ele:
p(0)=0\qquad\text{e}\qquad p^{\prime}(1)=0+2\cdot0+3\cdot0=0.
Logo o polinômio zero satisfaz ambas as condições, então W\neq\varnothing e contém o vetor zero.

Passo 5

Fechamento por soma. Seja p,q\in W com
p(x)=0+b_1 x+c_1 x^{2}+d_1 x^{3},\qquad b_1+2c_1+3d_1=0,
q(x)=0+b_2 x+c_2 x^{2}+d_2 x^{3},\qquad b_2+2c_2+3d_2=0.
Considere r=p+q. Os coeficientes de r são a_r=0+0=0 e b_r=b_1+b_2, c_r=c_1+c_2, d_r=d_1+d_2. Então
b_r+2c_r+3d_r=(b_1+2c_1+3d_1)+(b_2+2c_2+3d_2)=0+0=0.
Assim r satisfaz r(0)=0 e r^{\prime}(1)=0, logo r\in W. Portanto W é fechado por soma.

Passo 6

Fechamento por multiplicação por escalar. Seja p\in W com coeficientes a=0,b,c,d e seja \lambda\in\mathbb{R}. O polinômio \lambda p tem coeficiente constante a_{\lambda}= \lambda\cdot0=0 e
b_{\lambda}+2c_{\lambda}+3d_{\lambda}=\lambda b+2\lambda c+3\lambda d=\lambda(b+2c+3d)=\lambda\cdot0=0.
Logo \lambda p\in W. Portanto W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 7

Interpretação alternativa (útil para prova rápida): as duas condições a=0 e b+2c+3d=0 são equações lineares homogêneas sobre os coeficientes a,b,c,d. O conjunto de soluções de um sistema linear homogêneo é sempre um subespaço linear. Assim W é subespaço de P_{3}(\mathbb{R}).

Passo 8

Extra (intuição e forma canônica). Eliminando a e expressando b em função de c,d obtemos
b=-2c-3d,
logo um elemento genérico de W é
p(x)=(-2c-3d)x+c x^{2}+d x^{3}=c(-2x+x^{2})+d(-3x+x^{3}).
Isto mostra que W=\operatorname{span}\{ -2x+x^{2},\;-3x+x^{3}\}, portanto W é um subespaço de dimensão 2. (A verificação de independência das duas funções é direta pelos coeficientes das potências x,x^{2},x^{3}.)

Resposta

Verdadeiro.

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