Determine quais itens são verdadeiros e quais itens são falsos, justificando sua resposta.
O conjunto
é subespaço de
.
O conjunto
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
A pergunta é:
é subespaço de
?\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Polinômios têm forma
com coeficientes . - Condição
. - Condição
.
O objetivo é verificar (e justificar) sesatisfaz as propriedades necessárias para ser subespaço.
Passo 2
Entender as condições em termos dos coeficientes. Primeiro calcule
e
:
logo a condição
implica
A derivada do polinômio é
Avaliar em
dá
Portanto a condição
é equivalente a
Passo 3
Lembrando a definição: um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se
-
(normalmente verificamos se o vetor zero está em ); - fechado sob soma: se
então ; - fechado sob multiplicação por escalar: se
e então .
Vou checar essas três propriedades para.
Passo 4
Verificar que o polinômio zero pertence a
. O polinômio zero tem
. Para ele:
Logo o polinômio zero satisfaz ambas as condições, então
e contém o vetor zero.
Passo 5
Fechamento por soma. Seja
com
Considere
. Os coeficientes de
são
e
,
,
. Então
Assim
satisfaz
e
, logo
. Portanto
é fechado por soma.
Passo 6
Fechamento por multiplicação por escalar. Seja
com coeficientes
e seja
. O polinômio
tem coeficiente constante
e
Logo
. Portanto
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 7
Interpretação alternativa (útil para prova rápida): as duas condições
e
são equações lineares homogêneas sobre os coeficientes
. O conjunto de soluções de um sistema linear homogêneo é sempre um subespaço linear. Assim
é subespaço de
.
Passo 8
Extra (intuição e forma canônica). Eliminando
e expressando
em função de
obtemos
logo um elemento genérico de
é
Isto mostra que
, portanto
é um subespaço de dimensão
. (A verificação de independência das duas funções é direta pelos coeficientes das potências
.)
Resposta
Verdadeiro.