Determine quais itens são verdadeiros e quais itens são falsos, justificando sua resposta.
O conjunto W=\left\{p(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3} \in P_{3}(\mathbb{R}): a_{0}+a_{2}=1, a_{1}-a_{3}=\right. 0\} é subespaço de P_{3}(\mathbb{R}).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece o conjunto
W=\left\{p(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}\in P_{3}(\mathbb{R}) : a_{0}+a_{2}=1,\; a_{1}-a_{3}=0\right\}.
As condições sobre os coeficientes são:
  • \;a_{0}+a_{2}=1\; (uma equação linear não homogênea);
  • \;a_{1}-a_{3}=0, isto é, \;a_{1}=a_{3}\;.
A pergunta é: o conjunto W é subespaço de P_{3}(\mathbb{R})? Deve-se justificar a resposta.

Passo 2

Relembrando o que significa ser subespaço (aqui explico passo a passo):
  • P_{3}(\mathbb{R}) é o espaço vetorial dos polinômios com coeficientes reais de grau no máximo 3.
  • Um subconjunto S de um espaço vetorial é subespaço se (i) contém o polinômio zero, e (ii) é fechado sob adição e multiplicação por escalares (isto é, para quaisquer u,v\in S e qualquer escalar \lambda\in\mathbb{R} vale u+v\in S e \lambda u\in S).
  • Uma consequência prática: se um conjunto é definido por condições lineares homogêneas do tipo \text{(coeficientes combinados)}=0, isso costuma descrever um subespaço; se houver uma condição não homogênea (lado direito ≠ 0), normalmente é uma hipótese de que não é subespaço, porque o polinômio zero não satisfará essa condição em geral.
Vou usar esses critérios para testar W.

Passo 3

Teste do polinômio zero. O polinômio zero tem coeficientes
a_{0}=0,\qquad a_{1}=0,\qquad a_{2}=0,\qquad a_{3}=0.
Calculo a primeira condição que define W:
a_{0}+a_{2}=0+0=0.
Porém a condição exigida para pertencer a W é a_{0}+a_{2}=1. Como 0\neq1, o polinômio zero NÃO pertence a W.
Pela propriedade necessária de subespaço, um subespaço deve conter o polinômio zero; portanto W falha numa condição necessária para ser subespaço.

Passo 4

Para fixar a ideia com um exemplo concreto de violação de fechamento por escalares: mostro um polinômio que pertence a W e que, ao ser multiplicado por um escalar, deixa de pertencer a W.
Escolho coeficientes que satisfaçam as duas condições: tome
a_{0}=1,\quad a_{2}=0,\quad a_{1}=0,\quad a_{3}=0.
Então o polinômio
p(x)=1
satisfaz a_{0}+a_{2}=1+0=1 e a_{1}-a_{3}=0-0=0, logo p\in W.
Agora multiplico por \lambda=2. O polinômio 2p(x)=2 tem coeficientes a_{0}=2,a_{2}=0 e então
a_{0}+a_{2}=2+0=2\neq1.
Portanto 2p\notin W. Isso mostra explicitamente que W não é fechado pela multiplicação por escalares, outra propriedade necessária de subespaço.

Passo 5

Comentário estrutural (ajuda para entendimento): a condição a_{0}+a_{2}=1 é uma equação afim (não homogênea). Isso faz com que W seja uma translação de um subespaço linear. Escrevendo
U=\{\,q(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+b_{3}x^{3}\in P_{3}(\mathbb{R}): b_{0}+b_{2}=0,\; b_{1}=b_{3}\,\},
temos que U é um subespaço (condições homogêneas). E W é obtido como W=p_0+U onde, por exemplo, p_0(x)=1 (porque \,1\in W). Uma translação não trivial de um subespaço linear não é subespaço, justamente porque não contém o zero a menos que a translação seja nula.

Resposta

Falso.

Exercícios relacionados