Determine quais itens são verdadeiros e quais itens são falsos, justificando sua resposta.
O conjunto
é subespaço de
.
O conjunto
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece o conjunto
As condições sobre os coeficientes são:
-
(uma equação linear não homogênea); -
, isto é, .
A pergunta é: o conjunto
é subespaço de
? Deve-se justificar a resposta.
Passo 2
Relembrando o que significa ser subespaço (aqui explico passo a passo):
-
é o espaço vetorial dos polinômios com coeficientes reais de grau no máximo . - Um subconjunto
de um espaço vetorial é subespaço se (i) contém o polinômio zero, e (ii) é fechado sob adição e multiplicação por escalares (isto é, para quaisquer e qualquer escalar vale e ). - Uma consequência prática: se um conjunto é definido por condições lineares homogêneas do tipo
, isso costuma descrever um subespaço; se houver uma condição não homogênea (lado direito ≠ 0), normalmente é uma hipótese de que não é subespaço, porque o polinômio zero não satisfará essa condição em geral.
Vou usar esses critérios para testar
.
Passo 3
Teste do polinômio zero. O polinômio zero tem coeficientes
Calculo a primeira condição que define
:
Porém a condição exigida para pertencer a
é
. Como
, o polinômio zero NÃO pertence a
.
Pela propriedade necessária de subespaço, um subespaço deve conter o polinômio zero; portanto
falha numa condição necessária para ser subespaço.
Passo 4
Para fixar a ideia com um exemplo concreto de violação de fechamento por escalares: mostro um polinômio que pertence a
e que, ao ser multiplicado por um escalar, deixa de pertencer a
.
Escolho coeficientes que satisfaçam as duas condições: tome
Então o polinômio
satisfaz
e
, logo
.
Agora multiplico por
. O polinômio
tem coeficientes
e então
Portanto
. Isso mostra explicitamente que
não é fechado pela multiplicação por escalares, outra propriedade necessária de subespaço.
Passo 5
Comentário estrutural (ajuda para entendimento): a condição
é uma equação afim (não homogênea). Isso faz com que
seja uma translação de um subespaço linear. Escrevendo
temos que
é um subespaço (condições homogêneas). E
é obtido como
onde, por exemplo,
(porque
). Uma translação não trivial de um subespaço linear não é subespaço, justamente porque não contém o zero a menos que a translação seja nula.
Resposta
Falso.