Exercício 2.4 Existe \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{500}}{x^{2}+y^{1000}} ?
Em caso negativo, que tipo de caminhos você considerará, para encontrar vários sublimites diferentes?

Passo 1

O enunciado pede para investigar a existência de \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\,y^{500}}{x^2 + y^{1000}}.
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e para decidir se existe limite usaremos caminhos diferentes até (0,0).

Passo 2

Considere o caminho y=0. Então y^{500}=0 e
\frac{x\,y^{500}}{x^2 + y^{1000}} =\frac{x\cdot 0}{x^2+0} =0.
Logo o sublimite é 0.

Passo 3

Considere agora o caminho
x = m\,y^{500},
com m constante. Então x^2 = m^2\,y^{1000} e
\frac{x\,y^{500}}{x^2 + y^{1000}} =\frac{m\,y^{500}\cdot y^{500}}{m^2\,y^{1000} + y^{1000}} =\frac{m\,y^{1000}}{(m^2+1)\,y^{1000}} =\frac{m}{m^2+1}.
Esse valor depende de m.

Passo 4

Como pelo caminho y=0 o valor é 0 e pelo caminho x=m\,y^{500} obtivemos \tfrac{m}{m^2+1}, que varia quando mudamos m, os sublimites são diferentes. Portanto o limite não existe.

Resposta

O limite não existe. Para ver isso, basta usar caminhos do tipo x = m\,y^{500}, os quais produzem sublimites \tfrac{m}{m^2+1} diferentes para cada m.

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