Exercício 0.1 Determine o menor valor da expressão
.
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e pede: qual é o menor valor (mínimo) dessa expressão, considerando
como variável real? Informações relevantes: a base é
(um número positivo menor que 1) e o expoente é a função quadrática
.
Passo 2
Entendimento importante (aula rápida e intuitiva): quando temos uma potência
com
, aumentar o expoente
faz o valor da potência diminuir. Exemplos concretos:
,
,
— note que conforme o expoente cresce, o resultado fica menor. Portanto, para minimizar
precisamos maximizar o expoente
. Então o problema se reduz a: encontrar o máximo de
para
.
Passo 3
Vamos achar o máximo da função quadrática
completando o quadrado (método que sempre funciona e é rápido). Começamos reescrevendo:
Agora completamos o quadrado dentro do parêntese:
. Substituindo:
Passo 4
Da expressão obtida
vemos que
para todo
. Portanto
, e a igualdade acontece exatamente quando
, ou seja, quando
. Conclusão: o máximo do expoente
é
e ocorre em
.
Passo 5
Como queremos minimizar
e já vimos que isso ocorre quando o expoente é máximo (
), avaliamos a expressão em
:
Calculando a potência:
Argumento final e unicidade: para qualquer
temos
, e como a função
é decrescente em
, segue que para todo
A igualdade (ou seja, o menor valor) ocorre somente quando
.