Exercício 0.1 Determine o menor valor da expressão \left(\frac{1}{2}\right)^{4 x-x^{2}}.

Passo 1

O enunciado dá a expressão \left(\frac{1}{2}\right)^{4x-x^{2}} e pede: qual é o menor valor (mínimo) dessa expressão, considerando x como variável real? Informações relevantes: a base é \frac{1}{2} (um número positivo menor que 1) e o expoente é a função quadrática 4x-x^{2}.

Passo 2

Entendimento importante (aula rápida e intuitiva): quando temos uma potência a^{t} com 0<a<1, aumentar o expoente t faz o valor da potência diminuir. Exemplos concretos: \left(\frac{1}{2}\right)^{1}=\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}, \left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{8} — note que conforme o expoente cresce, o resultado fica menor. Portanto, para minimizar \left(\frac{1}{2}\right)^{4x-x^{2}} precisamos maximizar o expoente 4x-x^{2}. Então o problema se reduz a: encontrar o máximo de 4x-x^{2} para x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Vamos achar o máximo da função quadrática f(x)=4x-x^{2} completando o quadrado (método que sempre funciona e é rápido). Começamos reescrevendo:
4x-x^{2} = -x^{2}+4x = -\bigl(x^{2}-4x\bigr).
Agora completamos o quadrado dentro do parêntese: x^{2}-4x = x^{2}-4x+4-4 = (x-2)^{2}-4. Substituindo:
4x-x^{2} = -\bigl((x-2)^{2}-4\bigr) = - (x-2)^{2} +4.

Passo 4

Da expressão obtida
4x-x^{2} = 4 - (x-2)^{2},
vemos que (x-2)^{2}\ge 0 para todo x. Portanto 4x-x^{2}\le 4, e a igualdade acontece exatamente quando (x-2)^{2}=0, ou seja, quando x=2. Conclusão: o máximo do expoente 4x-x^{2} é 4 e ocorre em x=2.

Passo 5

Como queremos minimizar \left(\frac{1}{2}\right)^{4x-x^{2}} e já vimos que isso ocorre quando o expoente é máximo ( 4), avaliamos a expressão em x=2:
\left(\frac{1}{2}\right)^{4\cdot 2 - 2^{2}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{8-4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{4}.
Calculando a potência:
\left(\frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{1}{2^{4}} = \frac{1}{16}.
Argumento final e unicidade: para qualquer x temos 4x-x^{2}\le 4, e como a função t\mapsto\left(\frac{1}{2}\right)^{t} é decrescente em t, segue que para todo x
\left(\frac{1}{2}\right)^{4x-x^{2}} \ge \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{1}{16}.
A igualdade (ou seja, o menor valor) ocorre somente quando x=2.

Resposta

\dfrac{1}{16}

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