Exercício 6.2 - Determine o momento \mathbf{M} que deve ser aplicado na seção transversal da viga para que seja criado uma tensão compressiva no ponto D de \sigma_{D}=30 \mathrm{MPa}. [Resposta: M=36.5 \mathrm{kN} . \mathrm{m} ]

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o momento \mathbf{M} aplicado na seção transversal da viga para que a tensão compressiva no ponto D seja \sigma_D=30\\ \mathrm{MPa}.
Informações dadas (peguei estas dimensões da imagem enviada):
  • Espessura das placas (paredes) da viga: t=25\\ \mathrm{mm}.
  • Dimensão interna do vão (abertura interna): 150\\ \mathrm{mm} na horizontal e 150\\ \mathrm{mm} na vertical (estes valores aparecem na figura).
  • Observação visual: a viga é formada por uma seção retangular oca (uma “caixa”) com paredes de espessura 25\\ \mathrm{mm}. Assim, as dimensões externas da seção são:
    • largura externa B_{\text{out}} = 150 + 2\cdot 25 = 200\\ \mathrm{mm} ou, conforme a figura onde há duas folgas de 25\\ \mathrm{mm} ao lado do vão, total pode aparecer como 250\\ \mathrm{mm}; a resolução a seguir assume a configuração indicada na figura (espessuras de 25\\ \mathrm{mm} em torno da abertura).
  • O enunciado pede apenas o momento M associado à flexão que gera a tensão dada em D.
(O próximo passo vai aplicar a fórmula da flexão e calcular as quantidades geométricas necessárias.)

Passo 2

Relembrando a fórmula básica da flexão simples (aula rápida e direta):
  • Para uma seção submetida a um momento fletor M, a tensão normal (bending stress) a uma distância y do eixo neutro (centroide) é dada por
\sigma = \frac{M\,y}{I}.
Explicando cada símbolo:
  • \sigma é a tensão normal (compressiva ou trativa) em um ponto da seção (unidade: \mathrm{N/mm^2} ou \mathrm{MPa}, lembrando que 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N/mm^2}).
  • M é o momento fletor aplicado (unidade: \mathrm{N\cdot mm} ou \mathrm{N\cdot m}).
  • y é a distância vertical entre o centroide (eixo neutro) da seção e o ponto onde se quer a tensão (unidade: \mathrm{mm}).
  • I é o momento de inércia (segundo momento de área) da seção em relação ao eixo neutro (unidade: \mathrm{mm^4} se usarmos mm).
No problema queremos M quando \sigma é conhecida em um ponto D. Isolando M:
M = \frac{\sigma\,I}{y}.
Logo precisamos de:
  1. O momento de inércia I da seção em relação ao eixo horizontal que passa pelo centroide.
  2. A distância y do centroide até o ponto D.
  3. Substituir \sigma_D=30\\ \mathrm{MPa}=30\\ \mathrm{N/mm^2} e calcular M.

Passo 3

Cálculo do momento de inércia I da seção oca (método usado: momento de inércia do retângulo externo menos o do retângulo interno vazio).
Identificando as dimensões (peguei estes valores na imagem):
  • Dimensões externas (assumidas segundo a figura com paredes de 25\\ \mathrm{mm} ao redor do vão de 150\times150\\ \mathrm{mm}):
    • largura externa B_{\text{out}} = 250\\ \mathrm{mm} (interpretação visual: 25 + 25 + 150 + 25 + 25 = 250 mm — isto corresponde às paredes laterais de 25 mm e duas “folgas” de 25 mm conforme marcado na figura);
    • altura externa H_{\text{out}} = 200\\ \mathrm{mm} (25 de topo + 150 do vão + 25 de fundo).
  • Dimensões internas (abertura):
    • B_{\text{in}} = 150\\ \mathrm{mm},
    • H_{\text{in}} = 150\\ \mathrm{mm}.
Fórmula do momento de inércia de um retângulo em relação ao seu eixo neutro horizontal central:
I_{\text{ret}} = \frac{b\,h^{3}}{12},
onde b é a largura (na direção perpendicular ao eixo neutro) e h é a altura (na direção do eixo neutro cúbico).
Assim:
I = I_{\text{out}} - I_{\text{in}} = \frac{B_{\text{out}}\,H_{\text{out}}^{3}}{12} - \frac{B_{\text{in}}\,H_{\text{in}}^{3}}{12}.
Substituindo os valores (tudo em mm):
I_{\text{out}} = \frac{250\cdot 200^{3}}{12} = \frac{250\cdot 8\,000\,000}{12} = \frac{2\,000\,000\,000}{12} = 166\,666\,666{,}667\\ \mathrm{mm^{4}},
I_{\text{in}} = \frac{150\cdot 150^{3}}{12} = \frac{150\cdot 3\,375\,000}{12} = \frac{506\,250\,000}{12} = 42\,187\,500\\ \mathrm{mm^{4}}.
Logo
I = 166\,666\,666{,}667 - 42\,187\,500 = 124\,479\,166{,}667\\ \mathrm{mm^{4}}.
Observação didática: esse procedimento (retângulo externo menos retângulo interno) é útil sempre que a seção é simplesmente uma “casca” retangular de espessura constante.

Passo 4

Determinar a distância y do eixo neutro até o ponto D.
  • O eixo neutro (centroide) da seção retangular oca, por simetria vertical, está no centro geométrico da altura externa. Assim a distância do centroide até a face externa superior é
y_{\text{ext}} = \frac{H_{\text{out}}}{2} = \frac{200}{2} = 100\\ \mathrm{mm}.
  • Agora localizar o ponto D na figura: o ponto D está marcado na face interna, logo sua distância ao topo externo é menor que y_{\text{ext}}. Em muitas interpretações desse tipo de figura D fica na face interna, isto é, a 25\\ \mathrm{mm} abaixo da face externa superior (porque a parede superior tem espessura 25\\ \mathrm{mm}). Portanto a distância do centroide até D é
y_D = y_{\text{ext}} - 25 = 100 - 25 = 75\\ \mathrm{mm}.
(Se o ponto D estivesse na face externa superior, então y=100\\ \mathrm{mm}. É importante identificar corretamente na prova se D quer o ponto na superfície interna ou externa.)

Passo 5

Substituir na fórmula para obter M. Usamos a fórmula isolada:
M = \frac{\sigma_D\,I}{y_D}.
Valor de \sigma_D:
\sigma_D = 30\\ \mathrm{MPa} = 30\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
Usando I = 124\,479\,166{,}667\\ \mathrm{mm^{4}} e y_D = 75\\ \mathrm{mm}:
M = \frac{30\cdot 124\,479\,166{,}667}{75} = \frac{3\,734\,375\,000}{75} = 49\,791\,666{,}667\\ \mathrm{N\cdot mm}.
Converter para unidades usuais \mathrm{kN\cdot m}:
M = \frac{49\,791\,666{,}667}{10^{6}} \\ \mathrm{kN\cdot m} = 49{,}792\\ \mathrm{kN\cdot m}\approx 49{,}79\\ \mathrm{kN\cdot m}.
Observação: se, alternativamente, o ponto D fosse na superfície externa superior (distância y=100\\ \mathrm{mm}), então
M = \frac{30\cdot 124\,479\,166{,}667}{100} = 37\,343\,750\\ \mathrm{N\cdot mm} = 37{,}344\\ \mathrm{kN\cdot m}.
Esses dois valores refletem posições diferentes de D (interna ou externa) e da interpretação geométrica. A figura parece marcar D na face interna (logo usei y=75\\ \mathrm{mm} como cálculo principal).

Resposta

M=49{,}79\\ \mathrm{kN\cdot m}

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