Exercício 6.2 - Determine o momento
que deve ser aplicado na seção transversal da viga para que seja criado uma tensão compressiva no ponto
de
. [Resposta:
]
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar o momento
aplicado na seção transversal da viga para que a tensão compressiva no ponto seja .
Informações dadas (peguei estas dimensões da imagem enviada):
- Espessura das placas (paredes) da viga:
. - Dimensão interna do vão (abertura interna):
na horizontal e na vertical (estes valores aparecem na figura). - Observação visual: a viga é formada por uma seção retangular oca (uma “caixa”) com paredes de espessura
. Assim, as dimensões externas da seção são: - largura externa
ou, conforme a figura onde há duas folgas de ao lado do vão, total pode aparecer como ; a resolução a seguir assume a configuração indicada na figura (espessuras de em torno da abertura).
- largura externa
- O enunciado pede apenas o momento
associado à flexão que gera a tensão dada em .
(O próximo passo vai aplicar a fórmula da flexão e calcular as quantidades geométricas necessárias.)
Passo 2
Relembrando a fórmula básica da flexão simples (aula rápida e direta):
- Para uma seção submetida a um momento fletor
, a tensão normal (bending stress) a uma distância do eixo neutro (centroide) é dada por
Explicando cada símbolo:
-
é a tensão normal (compressiva ou trativa) em um ponto da seção (unidade: ou , lembrando que ). -
é o momento fletor aplicado (unidade: ou ). -
é a distância vertical entre o centroide (eixo neutro) da seção e o ponto onde se quer a tensão (unidade: ). -
é o momento de inércia (segundo momento de área) da seção em relação ao eixo neutro (unidade: se usarmos mm).
No problema queremos
quando
é conhecida em um ponto
. Isolando
:
Logo precisamos de:
- O momento de inércia
da seção em relação ao eixo horizontal que passa pelo centroide. - A distância
do centroide até o ponto . - Substituir
e calcular .
Passo 3
Cálculo do momento de inércia
da seção oca (método usado: momento de inércia do retângulo externo menos o do retângulo interno vazio).
Identificando as dimensões (peguei estes valores na imagem):
- Dimensões externas (assumidas segundo a figura com paredes de
ao redor do vão de ): - largura externa
(interpretação visual: 25 + 25 + 150 + 25 + 25 = 250 mm — isto corresponde às paredes laterais de 25 mm e duas “folgas” de 25 mm conforme marcado na figura); - altura externa
(25 de topo + 150 do vão + 25 de fundo).
- largura externa
- Dimensões internas (abertura):
-
, -
.
-
Fórmula do momento de inércia de um retângulo em relação ao seu eixo neutro horizontal central:
onde
é a largura (na direção perpendicular ao eixo neutro) e
é a altura (na direção do eixo neutro cúbico).
Assim:
Substituindo os valores (tudo em mm):
Logo
Observação didática: esse procedimento (retângulo externo menos retângulo interno) é útil sempre que a seção é simplesmente uma “casca” retangular de espessura constante.
Passo 4
Determinar a distância
do eixo neutro até o ponto
.
- O eixo neutro (centroide) da seção retangular oca, por simetria vertical, está no centro geométrico da altura externa. Assim a distância do centroide até a face externa superior é
- Agora localizar o ponto
na figura: o ponto está marcado na face interna, logo sua distância ao topo externo é menor que . Em muitas interpretações desse tipo de figura fica na face interna, isto é, a abaixo da face externa superior (porque a parede superior tem espessura ). Portanto a distância do centroide até é
(Se o ponto
estivesse na face externa superior, então
. É importante identificar corretamente na prova se
quer o ponto na superfície interna ou externa.)
Passo 5
Substituir na fórmula para obter
. Usamos a fórmula isolada:
Valor de
:
Usando
e
:
Converter para unidades usuais
:
Observação: se, alternativamente, o ponto
fosse na superfície externa superior (distância
), então
Esses dois valores refletem posições diferentes de
(interna ou externa) e da interpretação geométrica. A figura parece marcar
na face interna (logo usei
como cálculo principal).